부분공간 위상 (원본) (2)

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Subpace Toplogy

위상공간 [math(X)]의 주어진 위상으로부터 자연스럽게 정의되는 [math(X)]의 부분집합의 위상을 말한다. 부분공간 위상이 주어진 [math(X)]의 부분집합을 부분공간(Subspace)라고 한다.

== 정의 ==
위상공간 [math((X,\mathcal T))]와 그 부분집합 [math(Y\subset X)]를 생각하자. 이 때 [math(\mathcal T_Y=\{Y\cap U\mid U\in\mathcal T\})]를 부분공간 위상으로 정의하며, [math((Y,\mathcal T_Y))]를 [math(X)]의 부분공간이라고 한다.

이렇게 정의된 [math(\mathcal T_Y)]가 [math(Y)]의 위상임은 [math(\mathcal T)]가 [math(X)]의 위상임에서 자명하게 유도된다.

== 성질 ==
=== 기저 ===
[math(\mathcal B)]가 [math((X,\mathcal T))]의 기저일 때, [math(\mathcal B_Y=\{B\cap Y\mid B\in\mathcal B\})]는 [math((Y,\mathcal T_Y))]의 기저가 된다.

==== 증명 ====
[math(U_Y\subset\mathcal T_Y)]이면 [math(U\in\mathcal T)]가 존재하여 [math(U_Y=U\cap Y)]가 된다. [math(U_Y)]의 임의의 원소 [math(x)]에 대해 [math(x\in U)]이므로 [math(B\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B\subset U)]이고, 따라서 [math(B_Y=B\cap Y\in\mathcal B_Y)]에 대해 [math(x\in B_Y\subset U_Y)]이다. 기저의 성질에 의해 [math(\mathcal B_Y)]는 [math(\mathcal T_Y)]의 기저가 된다.

== 영상 ==
[youtube(QS0XtJ_jTxM)]

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]