스킴 (원본) (2) - 시드위키

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스킴(Scheme)이란 대수적으로 닫힌 [[체]]에서만 정의되는 대수다양체를 일반화시킨 것으로 대수다양체를 임의의 체, 더 나아가서 임의의 환이나 아예 기반 대수적 대상 없이 정의할 수도 있다. 이런 일반성을 이용한 신기한 예로 군 스킴(group scheme)이 있다. 스킴을 더 이용해서 스킴을 정의할 때 쓰는 위상공간를 바꿀 수도 있으며 그 예 중 하나가 étale topology이다.

== 정의 ==
먼저 [math(A)]가 commutative ring일 때 [math(\text{Spec}\,A)]를 정의하는데 이는 [math(A)]의 모든 소 아이디얼들의 모임으로 정의된다. 그리고 우리는 이제 [math(\text{Spec}\,A)]에다 위상을 줄 것이다. 우리는 [math(a)]가 [math(A)]의 ideal일 때 [math(V)][math(a)]를 [math(a)]를 포함하는 소 아이디얼들의 모임이라고 하자. 그러면 다음 둘이 성립한다.

(i) [math(V((0))=\text{Spec}\,{A})]
(ii) [math(V(\mathfrak{a}\mathfrak{b})=V(\mathfrak{a})\cup V(\mathfrak{b}))]

우리는 [math(V(a))]꼴을 closed set으로 삼으면 [math(\text{Spec}\,A)]에다 적당한 위상을 준다.

이제 [math(\mathcal{O})]라는 걸 만들 차례인데 [math(\mathcal{O})]는 위상공간 [math(\text{Spec}\,A)] 위의 sheaf이며 그 section은 다음과 같이 정의된다.

[math(s:U\to \displaystyle\bigsqcup_{\mathfrak{p}\in U}A_{\mathfrak{p}})]

여기에서 [math(U)]는 [math(\text{Spec}\,A)]의 open set이고 [math(A_{\mathfrak{p}})]는 [math(A)]를 [math(\mathfrak{p})]에서 localization시킨 것이다. 그러면 다음 두 유용한 정리가 성립한다.

* [math(\mathcal{O})]의 stalk를 [math(\mathfrak{p})]에서 구한 것은 [math(A_{\mathfrak{p}})]가 된다.
* [math(a∈A)]일 때 [math(D((a)))]를 [math(V((a)))]의 여집합이라고 할 때 [math(O(D((a))=A_a)]가 된다. 여기에서 [math(A_a)]는 [math(A)]를 [math(a)]에서 localization시킨 것이다.

이 두 정리는 스킴 이론에서 기본이 되는 정리며 나중에 여러가지 유용한 개념을 만들게 된다.

우리는 이 두 개를 묶어서 [math(\text{Spec}\,A,\mathcal{O})]라고 쓰는 것이 가능하며 이는 locally ringed space가 된다. 그리고 이런 꼴 locally ringed space을 아핀 스킴이라고 하자. 여기에는 다음과 같은 유용한 성질이 성립한다.

[math(A→B)]라는 사상이 있을 때 이것은 [math((\text{Spec}\,B,\mathcal{O}_{\text{Spec}\,B}) \to (\text{Spec}\,A,\mathcal{O}_{\text{Spec}\,A}))]라는 사상을 만들고 이는 역도 성립한다.

이제 모든 준비가 끝났다. 스킴은 다음과 같이 정의된다.

[math((X,\mathcal{O}))]가 locally ringed space라고 하자. 이 때 [math(x∈X)]에 대해서 적당한 [math(x)]의 개근방 [math(X)]가 있어서 [math((U,O_X|_U))]가 affine 스킴이 된다면 [math(X)]를 스킴이라고 한다.

== 예제 ==
우리는 [math(R)]이 임의의 가환환이라고 하고 [math(R[x_1,\cdots,x_n])]이 [math(R)]의 계수로 가지는 변수 [math(n)]개짜리 다항식들의 환이라고 하자. 그리고

[math(\Bbb{A}^n_{R}:=\text{Spec}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 한다면 [math(\Bbb{A}^n_{R})]은 훌륭한 아핀 스킴이 되며 R이 대수적으로 닫힌 체라고 하면 이는 우리가 잘 아는 아핀 공간이 된다.

이제 조금 다르게 잡아서 사영공간을 만들어보자. [math(A)]를 graded ring이라고 하고 [math(\text{Proj}\,{A})]를 [math(A)]의 homogeneous ideal들의 모임이라고 하자. 그러면 이것은 스킴이 될 수 있음이 알려져있고 이제

[math(\Bbb{P}^n_{R}:=\text{Proj}\,R[x_1,\cdots,x_n])]

이라고 하면 이것은 사영공간이 된다.

우리는 이번에는 예제를 좀 특이하게 잡아서 [math(A)]를 discrete valuation ring이라고 하고 [math(\text{Spec}\,A)]를 생각해보자. 그러면 이것은 [math((0))]과 또 하나의 소 아이디얼로 이루어진 원소 두개짜리 스킴이 된다. 특히 [math(K)]가 [math(A)]의 quotient 체고 [math(A→K)]가 있을 때 이것은 [math(\text{Spec}\,K\to \text{Spec}\,A)]라는 사상을 만들고 이 사상의 image는 [math(\text{Spec}\,A)]에서 open이면서 dense가 된다. 스킴 theory에서는 이런 점을 generic point라고 하고 나머지 한 점. 그러니까 [math(A)]의 극대 아이디얼을 special point (또는 closed point)이라고 한다. generic point와 special point는 모든 스킴에 대해서 정의될 수 있으며 generic point는 open이면서 dense고 special point는 언제나 closed가 된다.

앞의 세 예제는 모두 아핀 스킴의 예제다. 하지만 우리는 아핀 스킴의 예제만 있는 것이 아니다. [math(x)]를 [math(R)]의 극대 아이디얼이라고 하고 [math(U=\Bbb{A}^1_{R}\setminus \{x\})]라고 하고 똑같은 [math(U)] 두 개를 gluring시키면 아핀 스킴이 아닌 스킴이 나오게 된다.

== 진짜 대수다양체의 일반화? ==
이 개념은 매우 추상적이기 때문에 이것이 진짜로 대수다양체의 일반화인지 알기 힘들다. 하지만 다음 정리가 존재한다.

[math(k)]를 대수적으로 닫힌 체라고 하고 [math(\mathfrak{Sch}(k))]를 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상이 있는 스킴과 그 사이의 사상들의 category라 하고 [math(\text{Var}(k))]를 [math(k)]위의 대수다양체와 그 사상으로 이루어진 category라고 하자. 그러면 적당한 functor [math(F:\mathfrak{Var}(k)\to \mathfrak{Sch}(k))]가 있어서 이것은 natural full faithful functor가 된다.

이 정리는 스킴이 완벽하게 대수다양체의 일반화가 된다는 것을 말하고 있다. 즉 모든 대수다양체를 스킴으로 취급해도 전혀 문제 없다는 뜻이 된다.

우리는 여기에서 [math(X\to \text{Spec}\,k)]라는 사상을 썼는데 이는 더 일반화시켜서 [math(S)]가 스킴이고 [math(X)]도 스킴일 때 scheme over [math(S)]를 [math(X→S)]라는 사상으로 정의할 수 있다. 여기에서 [math(S=\text{Spec}\,k)] ([math(k)]는 임의의 체)라고 하면 이는 scheme over [math(k)]가 되고 [math(k)]를 임의의 가환환으로 바꿀 수도 있다! 사실 이런 정의는 환의 extension에서 추론할 수 있는데 직관적으로 [math(A→B)]가 injective이면 [math(B)]가 [math(A)] 위에 있다고 볼 수 있고, 여기에다가 Spec을 씌어주면 바로 scheme over a ring의 정의와 비슷한 명제가 얻어진다.

== 간단한 성질 ==
우리는 스킴의 정의를 그대로 써서 [math(x∈X)]일 때 [math(\mathcal{O}_{X,x})]를 [math(O_X)]의 [math(x)]에서 stalk라고 할 때 이것은 local ring이 됨을 쉽게 알 수 있다. 이를 [math(x)]에서의 local ring이라고 하며 [math(\mathcal{O}_{X,x})]라고 자주 쓴다. 이를 이용한 것으로 [math(\mathcal{O}_{X,x})]의 유일한 극대 아이디얼을 [math(m_x)]라고 쓸 때 [math(\mathcal{O}_{X}/\mathfrak{m}_x)]는 체가 되며 이것은 정수론에서 중요하게 쓰인다. 이를 [math(x)]에서 residue field라고 하고 [math(k(x))]라고 쓴다.

이제 [math(f:X→Y)]가 스킴의 사상일 때 우리는 [math(y∈Y)]이면 그 fibre [math(f^{−1}(y))]를 생각할 수 있다. 이는 [math(X)] 위의 부분스킴(subscheme)이 된다. 하지만 우리는 이것만으로 뭔가를 좀 더 알기 힘들 것 같으므로 다음 개념을 소개한다. [math(X→S←Y)]라는 스킴의 diagram이 주어져있을때 이것의 pullback을 [math(X×_SY)]라고 적자. 스킴의 pullback은 언제나 존재함이 알려져있고 그러므로 이 역시 잘 정의된다. 이제 [math(k(y)→O_Y)]로 만드는 사상 [math(\text{Spec}\,k(y)\to Y)]를 생각하면 우리는 [math(X\to Y\leftarrow \text{Spec}\,k(y))]라는 diagram을 만들 수 있으며 [math(X\times_{Y}\text{Spec}\,k(y))]를 새로운 fibre의 정의로 삼자. 이것은 자명하게 [math(k(y))] 위의 스킴이며 위상적으로 생각하면 [math(f^{−1}(y))]하고 위상동형이 되므로 완벽한 fibre의 재탄생이 된다.

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