체비쇼프 함수 (원본) (2)

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Chebyshev function

파프누티 체비쇼프가 발견하고 이름 붙인 두 [[수론적 함수]]를 말한다. 이 두 함수는 서로 연관되어있다.

== 정의 ==
첫 번째 체비셰프 함수(first Chebyshev function) [math(\vartheta)][* [math(\theta)]로 표기하기도 한다.]는 다음과 같이 정의된다.
><math>\vartheta(x):=\sum_{p\leq x}\log p</math>
두 번째 체비셰프 함수(second Chebyshev function) [math(\psi)]는 다음과 같이 정의된다.
><math>\psi(x):=\sum_{p^k\leq x}\log p</math>

== 성질 ==
=== 두 함수의 연관성 ===
정의에 의해 다음이 성립한다.
><math>\psi(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\sum_{p\leq x^{1/k}}\log p=\sum_{k=1}^{\infty}\vartheta(x^{1/k})</math>
모든 소수는 2 이상이기 때문에 위의 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
><math>\psi(x)=\sum_{k=1}^{\left[\frac{\log x}{\log 2}\right]}\vartheta(x^{1/k})=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})</math>
또한 [math(x>0)]에 대해 다음이 성립한다.
><math>0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log 2}</math>
이는 다음을 보장한다.
><math>\lim_{x \to \infty} \left(\frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x}\right)=0</math>

==== 증명 ====
[math(\psi(x)=\sum_{m\leq\log_2{x}}\vartheta(x^{1/m}))]에서
><math>0 \leq \psi(x)-\vartheta(x) \leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}}\vartheta(x^{1/m})</math>
을 얻는다. 또한 정의에 의해 [math(\vartheta(x) \leq \sum_{p \leq x}\log x \leq x\log x)]이므로
><math>\begin{aligned}0 \leq \psi(x) - \vartheta(x) &\leq \sum_{2 \leq m \leq \log_2{x}} x^{1/m} \log x^{1/m} \\&\leq (\log_2{x}) \sqrt{x} \log\sqrt{x} \\&= \frac{\sqrt{x}(\log x)^2}{2 \log 2}\end{aligned}</math>
><math>\therefore 0 \leq \frac{\psi(x)}{x}-\frac{\vartheta(x)}{x} \leq \frac{(\log x)^2}{2\sqrt{x}\log2}</math>

=== [[망골트 함수]]와의 연관성 ===
정의에 의해 다음이 성립한다.
><math>\psi(x)=\sum_{1\leq n\leq x}\Lambda(n)</math>

=== [[소수 계량 함수]]와의 연관성 ===
[math(x \geq 2)]에 대해 다음이 성립한다.
><math>\vartheta(x)=\pi(x)\log(x)-\int_{2}^{x}\frac{\pi(t)}{t}dt</math>
><math>\pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\log x}+\int_{2}^{x}\frac{\vartheta(t)}{t(\log t)^2}dt</math>

=== [[소수 정리]]와의 연관성 ===
체비셰프는 다음을 증명했다,
>상수 [math(c_1,c_2)]가 존재해서 [math(x \geq 2)]에 대해 <math>c_1x \leq \vartheta(x) \leq \psi(x) \leq \pi(x)\log x \leq c_2x</math>가 성립한다.
>
>또한, <math>\liminf_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \geq \log 2</math>와
>
><math>\limsup_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\pi(x)\log x}{x} \leq 4 \log 2</math>가 성립한다.
사실, 다음 두 식은 각각 [[소수 정리]] [math(\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x)\log x}{x}=1)]과 동치이다.
><math>\lim_{x\to\infty}\frac{\vartheta(x)}{x}=1</math>
><math>\lim_{x\to\infty}\frac{\psi(x)}{x}=1</math>

[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]