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[math(ℓ)]^^p^^ 공간은 놈 [math(\|\{a_k\}\|_p=\sqrt[p]{\sum_{n=1}^\infty |a_n|^p})]이 수렴하는 수열들의 집합으로 정의된다. ℓ^^p^^ 공간은 L^^p^^ 공간의 특수한 경우이다.
== [math(ℓ)]^^p^^ 공간 사이의 포함관계 ==
[math(1\leq m < n < +\infty)]인 m, n과 벡터 [math(\mathbf a=\{a_k\})]에 대하여,
[math(\ell^m = \{\mathbf a| \ \|\mathbf a\|_m = \left( \sum_{i=1}^\infty |a_i|^m\right)^{\frac 1 m}<+\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty |a_i|^m <+\infty \})] 와
[math(\ell^n = \{\mathbf a| \ \|\mathbf a\|_n = \left( \sum_{i=1}^\infty |a_i|^n\right)^{\frac 1 n}<+\infty \equiv \sum_{i=1}^\infty |a_i|^n <+\infty \})] 사이에 다음과 같은 관계가 성립한다.
[math(\ell^m \subset \ell^n)]
=== 증명 ===
[math(ℓ)]^^m^^ 공간 안에 있는 어떤 벡터 [math(\mathbf a)]를 잡으면, [math(\mathbf a=\{a_k\}\in \ell^m)], 즉 [math((\|\mathbf a \|_m)^m = \sum |a_k|^m<+\infty)]이므로 [math(\displaystyle\lim_{k\to\infty} (a_k)^m = 0)]이고 [math(\displaystyle\lim_{k\to\infty} a_k = 0)]이다.
따라서 자연수 집합 안에서 [math(k\geq N \rightarrow |a_k|<1)]인 적당히 큰 수 N를 잡을 수 있다. 이때 [math(k\geq N)]에 대하여
[math(|a_k|^2 \leq |a_k| \\ (\|\mathbf a\|_2)^2 = \sum_{i=1}^\infty |a_k|^2 = \sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\sum_{i=N}^\infty |a_k|^2\leq \sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2 +\sum_{i=N}^\infty |a_k|)]
여기서 [math(\sum_{i=1}^{N-1} |a_k|^2)]는 유한한 값 유한 개를 더한 값이므로 유한하고, [math(\sum_{i=N}^\infty |a_k|)]는 점점 0으로 가는 1보다 작은 수들의 합이므로 유한하다. ■
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