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Gaussian Integral
다음과 같은 이상적분을 말한다.
[math(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx =\sqrt{\pi})]
가우스 적분은 정규분포와 밀접한 연관이 있다.
== 증명 ==
가우스 적분을 계산하는 방법은 여러 가지가 있다.
=== 극좌표를 이용한 증명 ===
우선, 다음이 성립한다.
[math(\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right)^2=\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \int_{-\infty}^\infty e^{-y^2} dy =\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy)]
주어진 적분을 실수평면 위의 적분으로 간주하고 극좌표 치환을 하자. 그러면
[math(x=r\cos\theta)], [math(y=r\sin\theta)], [math(dxdy=rdrd\theta)] 이 되고
[math(\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}dxdy=\int_0^{2\pi}\int_0^\infty re^{-r^2} drd\theta=\pi)]
이다. 따라서
[math(\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx \right)^2 = \pi)]
이다. 그러므로
[math(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \pm\sqrt{\pi})]
이다. 그런데 [math(e^{-x^2}>0)]이므로, 주어진 적분도 양수가 되고 따라서 '+' 부호를 선택해야 한다.
== 영상 ==
[youtube(iLW-CgzA-NU)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
