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Exponentiation
거듭제곱은 이항연산의 하나로 어떤 수를 여러 번 곱하는 연산을 말한다.
== 정의 ==
자연수 [math(a, b)]에 대해 [math(a)]를 [math(b)]번 곱하는 거듭제곱 [math(a \times a \times \cdots \times a \times a)] 를 다음과 같이 쓴다.
{{{+1 [math(a^b)]}}}
이때 [math(a)]를 밑, [math(b)]를 지수라 한다.
== 확장 ==
실수 [math(a)]에 대해 다음과 같이 거듭제곱에서의 지수의 범위를 확장할 수 있다.
* [math(a\neq 0)] 에 대해 [math(a^0=1)] 이다. (음이 아닌 정수)
* [math(a\neq 0)] 와 정수 [math(n)] 에 대해 [math(a^{-n}=\frac{1}{a^n})] 이다. (정수)
* [math(a>0)] 와 정수 [math(m, n\ (n\neq 0))]에 대해 [math(a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m})] 이다. (유리수)
* [math(a>0)] 와 실수 [math(x)] 에 대해 [math(a^{x}=e^{x\ln a})] 이다. (실수, 오일러의 공식)
=== 밑의 범위 ===
* [math(0^0)]은 [math(a^0=1)], [math(0^a=0)]이므로 정의하지 않는다. 다만, <math>\lim_{x \to 0} x^x=1</math> 은 성립한다.
* 밑이 음수인 경우 [math(\sqrt{-1}=-1^{\frac{1}{2}}=-1^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{-1^2}=\sqrt[4]{1}=1)] 과 같은 모순이 발생하므로 유리수 지수에 대해 정의하지 않는다.
== 지수법칙 ==
양수 [math(a, b)]와 실수 [math(x, y)]에 대해 다음이 성립한다.
*[math(a^x a^y = a^{x+y})]
* [math(a^x \div a^y = a^{x-y})]
*[math((a^x)^y=a^{xy})]
*[math((ab)^x=a^x b^x)]
== 지수함수 ==
[math(y=2^x\ (a>1))]
[math(y=(\frac{1}{2})^x (=2^{-x})\ (0<a<1))]
[math(y=a^{(x-b)}+c)] ([math(a\neq 1, a>0)]) 와 같이 거듭제곱의 지수를 변수로 하는 함수를 '''지수함수'''라고 한다. 지수함수는 다음과 같은 특징을 가진다.
* 일대일함수이다.
* [math(\mathbb{R}\to (0,\infty))]인 연속함수이다.
* 초월함수이다.
지수함수 중에서 [math(y=a^x)] ([math(a\neq 1, a>0)]) 는 다음과 같은 특징을 가진다.
* [math(y=\log_a x)]와 [math(y=x)] 대칭이다. 그러므로 지수함수는 로그함수의 역함수 관계이다.
* [math(x)]축을 점근선으로 갖는다.
* [math(0<a<1)]이면 감소함수, [math(a>1)]이면 증가함수이다.
* 점 [math((0, 1))] 을 지난다.
* 도함수는 [math(a^x \ln a)] 이다.
== 영상 ==
[youtube(LDJLxH1vtRw)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
