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球殼 定理 / Ball Shell Theorem
중력장이나 정전기장처럼 역제곱의 법칙을 따르는 장에 대하여, 구각의 내부는 힘이 전혀 작용하지 않는다는 정리이다. 구각 정리의 기본 가정은 다음과 같다.
* 그 장의 원천이 되는 물리량의 면밀도가 [math( \sigma )]로 일정하다.
* 구각 위의 모든 점은 구의 중심에 대하여 같은 거리에 존재한다.
* 구각의 두께는 매우 얇다.
만일 두 가정이 만족되지 않는다면 구각 정리의 결과를 만족시키지 못할 수 있다. 하지만 세번째 가정은 꼭 만족하지 않아도 구각 내부는 구각 정리의 결과를 만족한다.[* 이 경우엔 면밀도 [math( \sigma (\vec{x}) )]가 아닌 체밀도 [math( \rho (\vec{x}) )]를 사용해야 한다.]
== 증명 ==
이름에 맞게 어떤 구각을 생각한다. 좌표계의 원점은 구각의 중심으로 하고, 계산의 편의성을 돕고자 구면좌표계를 이용한다. 이렇게 설정했을 때 어떤 점의 위치는
[math( \vec{x} = r \hat{\boldsymbol{r}} )]
로 나타낼 수 있다. 여기서 코사인 법칙을 쓰면 구각 위의 어떤 점과 그 점의 거리 [math( \delta )]는 구각의 반지름 [math( R )]과 그 점과 중심 사이의 거리 [math( r )]과
[math( {\delta}^{2} = {R}^{2} + {r}^{2} - 2 R r \cos \theta )]
의 관계식을 가진다. 여기서 [math( \theta )]는 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 구각 위의 한 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기로, [math( 0 \leq \theta \leq {\pi} / {2} )]이다. 그리고 구각 위의 한 점과 그 점을 잇는 직선과 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선 사이의 각의 크기 [math( \varphi )] 역시 코사인 법칙에 따라
[math( \cos \varphi = \frac{{\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{2 \delta r} )]
로 나타낸다.[* 코사인만 남기는 이유는 같은 [math( \theta )] 원뿔 상에 있는 모든 점에서 나온 장선의 성분 중 구각의 중심과 그 점을 잇는 직선과 평행한 성분만 남기 때문이다.] 여기서 역제곱의 법칙으로 기술되는 장을 쓰면
[math( \vec{\mathcal{F}} (\vec{x}) = \mathcal{K} \oint_{A} \frac{\sigma (R, \theta, \phi)}{{\delta}^{2}} \hat{\boldsymbol{\delta}} dA )]
로 나타낼 수 있다. 그런데 실제로는 구각의 중심으로부터 뻗어나오는 방향으로의 성분만 남기 때문에
[math( {\mathcal{F}}_{r} (r) = \mathcal{K} {R}^{2} \sigma \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \frac{1}{{\delta}^{2}} \cos \varphi \sin \theta \, d \theta \, d \phi = \mathcal{K} \frac{\pi {R}^{2} \sigma}{r} \int_{0}^{\pi} \frac{{\delta}^{2} + {r}^{2} - {R}^{2}}{{\delta}^{3}} \sin \theta \, d \theta )]
로 표현할 수 있다. 앞에서 미리 적은 코사인 법칙을 미분하면 [math( \sin \theta \, d \theta = {\delta} / {R r} \, d \delta )]이 되므로
[math( {\mathcal{F}}_{r} (r) = \mathcal{K} \frac{\pi R \sigma}{{r}^{2}} \int_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{1}{{\delta}^{2}} \, d \delta )]
가 된다. 이때 구각 내부([math( r < R )])와 구각 외부([math( r > R )])로 나눌 수 있다.
=== 구각 내부 ===
구각 내부의 경우 [math( {\delta}_{\text{min}} = R - r )]이고 [math( {\delta}_{\text{max}} = R + r )]이다. 따라서 위의 식의 적분 부분을 풀면
[math( \int_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{1}{{\delta}^{2}} \, d \delta = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\left [ - \frac{1}{r} \right ]}_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} = 2 r + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{2 r}{{R}^{2} - {r}^{2}} = 0 )]
이므로 구각 내부에서는 아무런 힘이 작용하지 않는다.
=== 구각 외부 ===
구각 외부의 경우 [math( {\delta}_{\text{min}} = r - R )]이고 [math( {\delta}_{\text{max}} = r + R )]이다. 따라서 위의 식의 적분 부분을 풀면
[math( \int_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} 1 + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{1}{{\delta}^{2}} \, d \delta = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) {\left [ - \frac{1}{r} \right ]}_{{\delta}_{\text{min}}}^{{\delta}_{\text{max}}} = 2 R + ({r}^{2} - {R}^{2}) \frac{2 R}{{r}^{2} - {R}^{2}} = 4 R )]
이므로
[math( \mathcal{K} \frac{4 \pi {R}^{2} \sigma}{{r}^{2}} = \mathcal{K} \frac{\mathcal{S}}{{r}^{2}} )]
가 되어 이는 중심에 점원천으로 존재하는 것과 같다는 결과를 보여준다. 따라서
* 구각 내부에서는 힘이 작용하지 않는다.
* 구각 외부에서는 점원천으로 존재하는 것과 같은 힘을 가한다.
라는 결과로 구각 정리를 증명하였다.
== 영상 ==
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[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
