[[분류:가져온 문서/오메가]]
위상수학에서 위상의 기저(Base, Basis)는 그 원소의 합집합으로 모든 열린 집합을 표현할 수 있는 열린 집합의 모임이다.
== 정의 ==
위상구조 [math(X)]에 대해 다음을 만족하는 [math(\mathcal B\subset2^X)]를 기저라고 한다.
* 임의의 [math(x\in X)]에 대해 [math(B\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B)]이다. 즉, 기저는 전체집합을 덮는다.
* 임의의 [math(B_1,B_2\in\mathcal B)]와 [math(x\in B_1\cap B_2)]에 대해 [math(B_3\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B_3\subset B_1\cap B_2)]이다.
기저 [math(\mathcal B)]에 대해 [math(\mathcal B)]에 의해 생성된 위상 [math(\mathcal T)](topology [math(\mathcal T)] generated by [math(\mathcal B)])는 다음과 같이 정의된다:
* [math(U\subset X)]가 열린 집합, 즉 [math(U\in\mathcal T)]라는 것은 각 [math(x\in U)]에 대해 기저의 원소 [math(B\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B\subset U)]인 것이다.
== 성질 ==
[[자명하다|자명]]하게도, 위상 [math(\mathcal T)]는 [math(X)]의 기저이며, 이는 자기 자신 [math(\mathcal T)]을 생성한다.
=== 위상? ===
[math(\mathcal B)]에 의해 생성된 [math(\mathcal T)]가 실제로 위상인지에 대한 증명이 필요하다.
* [math(\emptyset,X\in\mathcal T)]
* [math(\mathcal T)]의 원소들로 이루어진 집합족 [math(\{U_\alpha\}_{\alpha\in J})]에 대해, [math(U=\bigcup_{\alpha\in J}U_\alpha)]를 생각하자. 임의의 [math(x\in U)]에 대해 [math(x\in U_\alpha)]가 존재하고, [math(U_\alpha\in\mathcal T)]이므로 [math(x\in B\subset U_\alpha)]인 [math(B\in\mathcal B)]를 잡을 수 있다. 따라서 [math(x\in B\subset U)]이므로, [math(U\in\mathcal T)]이다.
* [math(U_1,U_2\in\mathcal T)]에 대해 임의의 [math(x\in U_1\cap U_2)]를 생각하자. 그러면 [math(x\in U_1,U_2)]이므로, [math(B_1,B_2\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B_1\subset U_1)], [math(x\in B_2\subset U_2)]이다. 따라서 [math(x\in B_1\cap B_2\subset U_1\cap U_2)]이고, [math(B_1\cap B_2\in\mathcal B)]이므로 [math(U_1\cap U_2\in\mathcal T)]이다.
=== 위상의 다른 표현 ===
기저 [math(\mathcal B)]에 의해 생성된 [math(\mathcal T)]는 [math(\mathcal B)]의 원소들의 임의의 모임의 합집합과 같다. 즉 다음이 성립한다.
><math>\mathcal T=\left\{\bigcup_{B\in\mathcal C}B:\mathcal C\subset\mathcal B\right\}\quad(=\mathcal D)</math>
==== 증명 ====
[math(\mathcal B\subset\mathcal T)]이고 [math(\mathcal T)]는 위상이므로 [math(\mathcal D\subset \mathcal T)]이다.
또한 임의의 [math(U\in\mathcal T)]와 [math(x\in U)]에 대해 [math(B_x\in\mathcal B)]가 존재하여 [math(x\in B_x\subset U)]이므로, [math(\bigcup_{x\in U}B_x=U)]이다. 따라서 [math(\mathcal T\subset\mathcal D)]이고, 증명이 끝났다.
== 영상 ==
[youtube(S56pnD-geDQ)]
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