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집합론에서, 데데킨트 무한집합(Dedekind-infinite set)이란 자기 자신과 대등한 진부분집합을 갖는 집합을 말한다.
== 정의와 성질 ==
집합 [math(A)]가 데데킨트 무한이란 것은 [math(A)]의 진부분집합 [math(X)]가 있어 [math(X)]에서 [math(A)]로 가는 전단사가 존재한단 것이다. 그리고 다음 명제들은 ZF 위에서 동치이다.
* [math(A)]는 데데킨트 무한이다.
* [math(A)]는 농도 [math(\aleph_0)]인 부분집합을 갖는다.
* 자연수 집합에서 [math(A)]로 가는 단사함수가 존재한다.
ZF에서 모든 데데킨트 무한집합은 무한집합임을 보일 수 있고, [math(X)]가 무한집합이면 [math(\mathcal{P}(\mathcal{P}(X)))]는 데데킨트 무한이다.
== 선택공리와의 연관성 ==
[[가산 선택공리]]를 가정하면 모든 무한집합이 데데킨트 무한임을 보일 수 있다. 하지만 ZF가 무모순이라면, ZF + '데데킨트 무한이 아닌 무한집합이 존재한다' 역시 무모순한 이론이다. 따라서 ZF만으로는 모든 무한집합이 데데킨트 무한임을 보일 수 없다.
== 참고문헌 ==
* Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://archive.ph/y42Gd|링크]])]
