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Dickman function, Dickman–de Bruijn function
딕맨 함수 [math(\rho)]는 상한이 주어졌을 때 그에 존재하는 부드러운 정수의 개수를 세기 위해 도입된 함수이다. 딕맨(Karl Dickman)의 논문[* Dickman, K. (1930). On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude, Ark. Mat. Astr. fys. 22, 1–14.]에서 최초로 정의되었으며, 이후 드 부르진(Nicolaas Govert de Bruijn)에 의해 연구되었다.[* de Bruijn, N. G. (1951). "On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y". Indagationes Mathematicae 13: 50–60.][* de Bruijn, N. G. (1966). "On the number of positive integers ≤ x and free of prime factors > y, II". Indagationes Mathematicae 28: 239–247.]
== 정의 ==
딕맨 함수 [math(\rho(u))]는 지연미분방정식 [math(u\rho'(u)+\rho(u-1)=0)]과 초기조건[math(\rho(u)=0 \text{ at } [0,1])]을 만족하는 연속함수로 정의된다. [math(\Bbb R^+_0)]를 정의역으로 가진다.
== 성질 ==
정의의 지연미분방정식을 이용 및 변형하여 다양한 성질을 찾아낼 수 있다.
우선 이항 및 양변을 [math(u)]로 나누면
[math(\rho'(u)=-\frac{\rho(u-1)}{u})]
가 되는데, 이를 적분하면
[math(\rho(v)=\rho(u)-\int_u^v {\rho(t-1) \over t} dt)]
를 얻는다. 그리고
[math((u\rho(u))'=\rho(u)-\rho(u-1))]
에서
[math(u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v) dv\ (u\geq1))]
를 얻는다.
또한 다음 성질들이 성립한다.
* [math(\Bbb R^+_0)]에서 연속이다.
* 도함수가 존재하므로 자명하다.
* [math(\Bbb R^+_0)]에서 양의 값을 가진다. 즉, 근이 존재하지 않는다.
* 근이 존재한다고 가정하면 근의 집합의 하한 [math(u_0)]를 잡을 수 있다.
* [math(\rho)]가 연속이므로 [math(\rho(u_0)=0)]이 성립하게 되는데,
* [math(u_0\rho(u_0)=\int_{u_0-1}^{u_0} \rho(v) dv)]
* 에서 좌변은 0이지만 [math([0,u_0))]에서 [math(\rho>0)]이므로 우변은 0보다 크다. 따라서 모순이 발생하고, [math(\rho)]의 근은 존재하지 않는다. [math(\rho(0)=1>0)]이므로 [math(\rho)]는 [math(\Bbb R^+_0)]에서 양의 값을 가진다.
* [math((1,+\infty))]에서 감소한다.
* [math(u\rho'(u)=-\rho(u-1))]에서 [math(\rho'(u)<0\ \forall u>1)]을 얻는다. 따라서 [math(\rho)]는 [math((1,+\infty))]에서 감소한다.
* 최댓값은 [math([0,1])]에서 1이며, 최솟값은 존재하지 않는다.
* 감소함수이므로 자명하다.
=== 상한, 하한 ===
귀납법을 사용하면 어렵지 않게 다음을 증명할 수 있다.
[math({1\over2\Gamma(2u+1)} \leq \rho(u) \leq {1\over\Gamma(u+1)})]
==== 증명 ====
우선 상한을 보이자.
임의의 [math(U\in\Bbb N)]에 대해 [math(0\leq u\leq U)]일 때 상한이 성립함을 [math(U)]에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
[math(\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\ \Gamma''(s)=\int_0^\infty e^{-x}x^{-s-1}(\log x)^2 dx >0\ (0<s<\infty))]
이므로 [math(1\leq s\leq 2)]에서 [math(\Gamma(s)\leq1)]이다. 따라서 초기조건이 성립한다.
[math(\rho)]가 감소함수이므로
[math(u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v)dv \leq \rho(u-1))]
이다. 따라서 [math(0\leq u\leq U)]일 때 상한이 성립한다고 가정했을 때, [math(U\leq u\leq U+1)]이면
[math(\rho(u) \leq {\rho(u-1)\over u} \leq {1\over u\Gamma(u)} = {1\over\Gamma(u+1)})]
로 상한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 상한이 증명되었다.
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이제 하한을 보이자.
[math(u)]에 [math(v/2)]를 대입하면, 보이고자 하는 것은
[math(\rho({v\over2}) \geq {1\over2\Gamma(v+1)})]
가 된다. 이제 상한에서와 같이 임의의 [math(V\in\Bbb N)]에 대해 [math(0\leq v\leq V)]일 때 하한이 성립함을 [math(V)]에 대한 귀납법을 사용하여 증명할 것이다.
위에서 보였듯이
[math(\Gamma(1)=\Gamma(2)=1,\ \Gamma''(s)>0\ (0<s<\infty))]
이므로 [math(0<s\leq1,\ s\geq2)]일 때 [math(\Gamma(s)\geq1)]이다.
또한 [math(1\leq s\leq2)]이면
[math(\begin{aligned} \Gamma(s)&=\int_0^\infty e^{-x}x^{-s-1} dx \\ &\geq \int_0^1 e^{-x}x dx + \int_1^\infty e^{-x} dx \\ &=1-{1\over e} > {1\over2} \end{aligned})]
이므로 임의의 [math(s>0)]에 대해 [math(\Gamma(s)\geq{1\over2})]가 성립한다.
따라서 [math(0\leq v\leq2)]에서 [math({1\over2\Gamma(v+1)}\leq\rho({v\over2})=1)]이고, 초기조건이 성립한다.
[math(\rho)]가 감소함수이므로
[math(u\rho(u)=\int_{u-1}^u \rho(v)dv \geq \int_{u-{1\over2}}^u \rho(v)dv \geq {\rho(u-{1\over2})\over2})]
이다. 따라서 [math(0\leq v\leq V)]에서 하한이 성립한다고 가정했을 때, [math(V\leq v\leq V+1)]이면
[math(\rho({v\over2}) \geq {\rho({v-1\over2})\over v} \geq {1\over2v\Gamma(v)} = {1\over2\Gamma(v+1)})]
로 하한이 성립한다. 따라서 귀납조건이 성립하고, 하한이 증명되었다.
=== 함수식 ===
라플라스 변환과 역라플라스 변환을 사용하면 다음을 증명할 수 있다.
[math(s\in\Bbb R)] 또는 [math(s\in\Bbb C)]일 때,
[math(\int_0^\infty \rho(u)e^{-us}du = \exp\left(\gamma+\int_0^s {e^{-z}-1 \over z} dz\right))]
[math(u>0,\ \sigma_0\in\Bbb R)]일 때,
[math(\rho(u) = {e^\gamma \over 2\pi i} \int_{\sigma_0-i\infty}^{\sigma_0+i\infty} \exp\left(\int_0^s {e^{-z}-1 \over z} dz\right) e^{us} ds)]
== 부드러운 정수와의 관계 ==
[math(\psi(x,y))]를 [math(x)] 이하의 [math(y)]-부드러운 정수, 즉 [math(y)] 이하의 소인수만을 가지는 [math(x)] 이하의 자연수의 개수라고 할 때, 다음이 성립한다.
[math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O({x\over\log x}))]
이 때, [math(u=\log x/\log y)]이다. 따라서 [math(\phi(x,x^{1\over u}) \sim \rho(u)x)]도 성립한다.
== 참고문헌 ==
* Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). ''Multiplicative number theory. I. Classical theory''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
