Logarithm
고정된 밑을 몇 번 곱하여야 특정한 수가 되는지를 나타내는 함수이다.
== 정의 ==
양수 [math(a (\neq 1))]를 [math(b(>0))]번 곱하여([math(a^b)]) [math(N)]이 될 때, 이러한 관계는 다음과 같이 나타난다.
[math(\log_a N = b)]
이때 [math(a)]를 밑, [math(N)]을 진수라 한다.
밑이 [math(10)]인 로그는 상용로그(Common logarithm), 밑이 [math(e)](자연상수)인 로그는 자연로그(Natural logarithm)로 불린다. 교과 수학에서 전자는 [math(\log)], 후자는 [math(\ln)]으로 표기하며, 이후 상용로그는 잘 쓰이지 않기 때문에 일반적으로 자연로그를 [math(\log)]로 표기한다.
== 성질 ==
[math(1)]이 아닌 양수 [math(a, b, c)] 와 양수 [math(M, N)]에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\log_a MN = \log_a M + \log_a N)]
* [math(\log_a M=\alpha, \log_a N= \beta)]이면 [math(a^\alpha=M, a^\beta=N)]에서 [[거듭제곱|지수법칙]]에 의해 [math(a^{\alpha+\beta}=MN)]이므로 [math(\log_a MN=\alpha + \beta)] 이다.
* [math(\log_a \frac{M}{N} = \log_a M - \log_aN)]
* [math(\log_a M=\alpha, \log_a N= \beta)]이면 [math(a^\alpha=M, a^\beta=N)]에서 지수법칙에 의해 [math(a^{\alpha-\beta}=\frac{M}{N})]이므로 [math(\log_a \frac{M}{N}=\alpha - \beta)] 이다.
* [math(\log_a N^k = k \log_a N)] ([math(k)]는 실수)
* [math(\log_a N=\alpha)]이면 [math(a^\alpha = N)]에서 [math((a^\alpha)^k=N^k)]이므로 [math(\log_a N^k = k \alpha)]이고 이는 [math(k \log_a N = k \alpha)] 와 같다.
* [math(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b)] [math((m\neq 0))]
* [math(n\log_{a^m} b = n\alpha)] 이면 [math((a^m)^\alpha = b)] 에서 지수법칙에 의해 [math(a^{m\alpha}=b)] 이고 [math(\log_a b = m\alpha)]에서 [math(\log_{a^m} b=\frac{1}{m}\log_{a} b)]이므로 [math(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_a b)] 가 성립한다.
* [math(\log_a N = \frac{\log_b N}{\log_b a})]
* [math(\log_b N = \alpha, \log_b a = \beta)] 이면 [math(b^\alpha=N, b^\beta=a)] 이므로 [math(\log_a N = \log_{b^\beta} b^{\alpha}=\frac{\alpha}{\beta}\log_b b)] 에서 이는 [math(\frac{\log_b N}{\log_b a})]와 같다.
* [math(a^{\log_c b} = b^{\log_c a})]
* 양변에 밑이 [math(c)]인 로그를 취하면 [math(\log_c b \log_c a = \log_c a \log_c b)] 이므로 성립한다.
== 로그함수 ==
[math(y=\log_a x\ (a>0, a\neq 1))] 꼴의 함수를 '''로그함수'''라고 한다. 이는 [[거듭제곱]]을 함수로 나타낸 [math(y=a^x)] 꼴의 역함수라고도 할 수 있다.
== 복소로그 ==
'''복소로그'''(Complex logarithm)는 밑이 [math(e)]일 때 진수의 정의역을 복소수로 확장한 것이다. 이는 복소지수의 역함수로 정의된다.
== 영상 ==
[youtube(qkL--ptqtoE)]
