[[분류:가져온 문서/오메가]]
Legendre Symbol
[[이차 잉여]]를 이용하여 정의되는 일종의 수론적 함수이다. 이차 잉여 여부를 수치로 나타냈다고 보면 된다.
== 정의 ==
자연수 [math(n)]과 홀소수 [math(p)]에 대하여,
[math(\left(\frac{n}{p}\right)=\begin{cases} 1 & \text{if}\ \exists x \in \mathbb{Z}\ \text{such that}\ x^2 \equiv n\ (\text{mod}\ p) \ -1 & \text{if}\ \nexists x \in \mathbb{Z}\ \text{such that}\ x^2 \equiv n\ (\text{mod}\ p) \ 0 & \text{if}\ p|n \end{cases})]
[math((n|p))]로 표기하기도 한다.
== 성질 ==
* [math((n^2|p)=1\ (p \nmid n))]
* [math((1|p)=1)]
* [math((ab|p)=(a|p)(b|p))]
* 즉 르장드르 기호는 [[곱셈적 함수#완전히 곱셈적|완전히 곱셈적]]이다.
* [math((-1|p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}})]
* [math((2|p)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}})]
=== 증명 ===
* [math((-1|p)=(-1)^{\frac{p-1}{2}})]
오일러의 판정법에 의해 자명하다.
* [math((2|p)=(-1)^{\frac{p^2-1}{8}})]
* [math(\begin{aligned}p-1 &\equiv 1(-1)^{1}\ (\text{mod}\ p) \\2 &\equiv 2(-1)^{2}\ (\text{mod}\ p) \\p-2 &\equiv 3(-1)^{3}\ (\text{mod}\ p) \\\vdots \\a &\equiv \frac{p-1}{2}(-1)^{\frac{p-1}{2}}\ (\text{mod}\ p)\ (a=\frac{p-1}{2}\ \text{or}\ \frac{p+1}{2})\end{aligned})]
* [math(\prod_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}2i \equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!(-1)^{\sum_{i=1}^{\frac{p-1}{2}}i})]
* [math(2^{\frac{p-1}{2}} \left(\frac{p-1}{2}\right)! \equiv \left(\frac{p-1}{2}\right)!(-1)^{\frac{p^2-1}{8}})]
* [math(\therefore (2|p) \equiv 2^{\frac{p-1}{2}} \equiv (-1)^{\frac{p^2-1}{8}})]
=== 오일러의 판정법 ===
[math((n|p) \equiv n^{\frac{p-1}{2}}\pmod{p})]
=== [[가우스의 보조정리]] ===
홀소수 [math(p)]에 대하여 [math(p \nmid n)]일 때 [math({n\ell\ \operatorname{mod} p\ |\ \ell=1,2,\cdots,\frac{p-1}{2}})]의 원소 중 [math(\frac{p}{2})]보다 큰 것의 개수를 [math(m)]이라 하자. 이 때, [math((n|p)=(-1)^m)]이다.
=== 이차 상반법칙 ===
[math((p|q)(q|p)=(-1)^{\frac{(p-1)(q-1)}{4}})]
== 영상 ==
[youtube(Z1EgYHCRf54)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
