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Liouvile's theorem
복소해석함수와 관련된 복소해석학의 주요 정리 중 하나이다.
== 진술 ==
[math(f:\Bbb{C}\to\Bbb{C})]가 복소해석적이라 하자. 만약 [math(f)]가 유계이면, [math(f)]는 상수함수이다.
== 증명 ==
우선, 코시의 적분 공식에 의해, [math(z)]를 내부에 포함하고 있는 임의의 폐경로 [math(C)]에 대해
[math(f'(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^2} d\zeta)]
이다. [math(f)]가 유계이므로, 어떤 양수 [math(M)]이 있어 [math(|f(\zeta)|<M)]이며, [math(C)]가 [math(z)]를 중심으로 하고 반경이 [math(r)]인 원을 반시계 방향으로 돌아가는 경로라 하면
[math(|f'(z)|=\left| \frac{1}{2\pi}\oint_C \frac{f(\zeta)}{(\zeta-z)^2}d\zeta \right|\le \frac{1}{2\pi} \oint_C \frac{|f(\zeta)|}{|\zeta-z|^2}|d\zeta|\le \frac{1}{2\pi} \oint_C \frac{M}{r^2} |d\zeta|=\frac{M}{r})]
위에서 [math(r\to\infty)]로의 극한을 취하면 [math(f'(z)=0)]이란 결과를 얻는다. 전 구간에서 항등적으로 [math(f'(z)=0)] 일 필요충분조건은 [math(f)]가 상수함수가 되는 것이다.
== 보기 ==
* [[대수학의 기본 정리]]
== 영상 ==
[youtube(XFEUPI0FXRM)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
