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방데르몽드 행렬식(Vandermonde determinant) 또는 방데르몽드 다항식(Vandermonde polynomial)은 정사각행렬인 [[방데르몽드 행렬]]의 행렬식이다.
== 계산 ==
[math(n\times n)] 방데르몽드 행렬
<math>V_n=\begin {bmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end {bmatrix}</math>
에 대해
<math>\det(V_n)=\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)</math>
이다.
=== 증명 ===
[math(V_n)]의 행렬식
<math>\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\1 & \alpha_n & \alpha_n^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}\end{vmatrix} </math>
의 [math(2,3,\dots,n)]행에서 [math(1)]행을 빼는 기본행연산을 수행하면,
<math>\det(V_n)=\begin{vmatrix}1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \cdots & \alpha_1^{n-1} \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2^2 -\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_2^{n-1}-\alpha_1^{n-1} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n^2-\alpha_1^2 & \cdots & \alpha_n^{n-1}-\alpha_1^{n-1}\end{vmatrix} </math>
을 얻는다. [math(j\in\{1,2,\dots,n-1\})]에 대해, [math((j+1))]열에서 [math(j)]항의 [math(\alpha_1)]배를 빼는 기본열연산을 내림차순으로 수행하면,
<math>\begin{aligned}\det(V_n)&=\begin{vmatrix}1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\0 & \alpha_2 - \alpha_1 & \alpha_2(\alpha_2-\alpha_1) & \cdots & \alpha_2^{n-2}(\alpha_2-\alpha_1) \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & \alpha_n-\alpha_1 & \alpha_n(\alpha_n-\alpha_1) & \cdots & \alpha_n^{n-2}(\alpha_n-\alpha_1)\end{vmatrix}\\ &=\prod_{i=2}^n (\alpha_i -\alpha_1) \begin{vmatrix} 1 & \alpha_2 & \cdots & \alpha_2^{n-2} \\ 1 & \alpha_3 & \cdots &\alpha_3^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \alpha_n & \cdots & \alpha_n^{n-2} \end{vmatrix}\end{aligned} </math>
위의 계산과정을 반복하면,
<math>\det(V_n)= \prod_{k=1}^{n-1}\left(\prod_{i=k+1}^n (\alpha_i-\alpha_k)\right) =\prod_{1\le j < i \le n}(\alpha_i-\alpha_j)</math>
을 얻는다.
== 외부 ==
* [[https://www.proofwiki.org/wiki/Vandermonde_Determinant|Vandermonde Determinant(Proofwiki)]]
== 영상 ==
[youtube(u9Zp6sAUsNI)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
