== 시작하기에 앞서 == n차방정식은 반드시 n차항의 계수로 방정식을 나눠 최고차항의 계수가 1이 되어야 한다. == 해결하는 방법 == === 1차방정식 === 1차방정식은 양변에 같은 수를 더하거나, 빼거나, 곱하거나, 나눠도 등식이 성립한다는 성질을 이용해 풀 수 있다. ax+b=c에서 x를 알아내려면 양변에 b를 빼서 ax=c-b로 만들고, 이것을 a로 나눠 x=(c-b)÷a 이렇게 x를 구하면 된다. 예시: 30x+4=124를 풀려면 양변에서 4를 빼서 30x=120로 만들고, 양변을 30으로 나누면 x=40이 된다. === 2차방정식 === 2차방정식은 ax^2 + bx + c = 0 꼴의 방정식이다. 2차방정식을 풀려면 해당 식을 인수분해를 하든지, 근의 공식을 써서 풀던지, (x+p)^2 + q 꼴로 바꾸던지 해야 한다. 어떤 경우라도 한 근을 알면 다른 한 근을 알 수 있다. ==== 인수분해로 풀기 ==== 바로 a(x-p)(x-q) 같이 인수들의 곱으로 바꾸는 것이다. 이 방법은 근과 계수의 관계를 이용해야 한다. 이차방정식 ax^2 + bx + c에서 두 근의 곱이 c이고, 두 근의 합이 -b이다. ==== (x-p)^2 + q로 만드는 방법 ==== (a+b)^2 = a^2 + ab + b^2 라는 인수분해 공식과 양변에 같은 수를 제곱하거나 제곱근을 취해도 같음을 이용하면 된다. ==== 근의 공식 ==== x = (-b 土 sqrt(b^2 - 4ac) ) ÷ 2a[* sqrt(n)은 n의 제곱근이라는 뜻이다.] [[근의 공식을 외우기 위해 만들어진 노래|https://www.youtube.com/watch?v=2t6fTUPg0X4]]도 있다. ==== 두 근의 평균을 이용하는 방법 ==== 이것만 알면 근의 공식을 몰라도 된다. 이 방법은 근과 계수의 관계와 a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)라는 인수분해 공식을 이용한 방법이다. 근과 계수의 관계에 의해 두 근의 합을 2로 나눈 값이 두 근의 평균이다.[* 당연히 두 근은 두 근의 평균으로부터 떨어진 거리가 같다.] 이제 두 근을 d+t, d-t(d는 두 근의 평균)라고 하면 두 근의 곱은 d^2 - t^2이다. 여기서 t를 구해서 두 근을 알아낼 수 있다. === 고차방정식 === 고차방정식은 차수가 3 이상인 방정식을 뜻한다. 고차방정식은 2차방정식을 풀 줄 알아야 풀 수 있다. ==== 3차방정식 ==== x^3 + ax^2 + bx + c = 0이라는 3차방정식을 풀려면 2차항을 소거해야 한다. ===== 카르다노의 공식 ===== [[푸는 방법|https://www.youtube.com/watch?v=PU7VG220lok]] x^3 + ax^2 + bx + c = 0에서 x를 y - a/3로 치환해 이차항을 없앤다. y^3 + py + q = 0에서 y를 구하면 된다. y에 u+v를 대입해 u, v의 값을 찾자. 이제 3uv+p=0, u^3 + v^3 + q=0을 동시에 만족하는 u, v의 값을 찾자. 이것만 알아도 충분히 삼차방정식을 풀 수 있지만, 매우 어려워진다. ===== 3배각 공식 ===== [[영상|https://www.youtube.com/watch?v=qytlgBVNUg4]] 이건 삼각함수를 알아야 풀 수 있으며, 풀기 어렵다. ==== 4차방정식 ==== 3차항이나 1차항이 있으면 페라리의 방법을 쓴다. 어떤 값이든 x를 구할 수 있는 미지수를 하나 더 써야 한다. [[영상 링크|https://www.youtube.com/watch?v=1uZgmt5Qjik]] ===== 복이차방정식 ===== 복이차방정식은 ax^4 + bx^2 + c에서 x를 구해야 하는 방정식이다. x^2를 y로 치환한 후 이차방정식처럼 풀고, y의 값을 알아내 x의 값을 알아내면 된다. ==== 5차 이상의 방정식 ==== 일반적으로 5차방정식 이상으로 어려운 방정식은 최고차항 다음으로 차수가 높은 항을 소거해도 일반해를 구할 수 없으나, 인수분해가 되면 풀 수 있다.
