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Bohr-Mollerup theorem
[[감마 함수]]의 유일성에 대한 정리이다.
== 진술 ==
두 번 미분 가능한 함수 <math>f:(0,\infty)\to\mathbb{R}</math>가 다음을 만족한다 하자.
* <math>f(1)=1</math>
* <math>f(x+1)=xf(x)</math>
* <math>f</math>는 로그 볼록이다. i.e. <math>(\log f)''>0</math>
그러면 <math>f=\Gamma</math>이다. 이 때 <math>\Gamma</math>는 감마 함수이다.
== 증명 ==
<math>\phi=\log f</math>로 두자. 그러면 <math>x\in(0,\infty)</math>에 대해
><math>\phi(x+1)=\phi(x)+\log x\quad \cdots\cdots \quad (1)</math>
이고 <math>\phi(1)=0</math>이며 <math>\phi</math>는 볼록이다. 이제 <math>0<x<1</math>이라 하고 <math>n</math>을 양의 정수라 하자. 여기서 <math>\phi(n+1)=\log(n!)</math> 임을 귀납법을 이용해서 쉽게 증명할 수 있다. 특히, 위의 식을 이용하면 다음을 얻어낼 수 있다.
><math>\phi(n+1+x) = \phi(x)+\log\left[x(x+1)\cdots(x+n)\right]\quad \cdots\cdots \quad (2)</math>
만약 <math>g</math>가 볼록함수이면, 기울기 비교를 통해서 <math>a<b<c<d</math>인 실수 <math>a,b,c,d</math> 에 대해
><math>\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\le \frac{g(c)-g(b)}{c-b}\le \frac{g(d)-g(b)}{d-b}\quad \cdots\cdots \quad (3)</math>
가 성립한다. 여기서 <math>g=\phi</math>, <math>a=n</math>, <math>b=n+1</math>, <math>c=n+1+x</math> <math>d=n+2</math>로 두면
><math>\log n\le \frac{\phi(n+1+x)-\phi(n+1)}{x}\le\log(n+1)\quad \cdots\cdots \quad (4)</math>
이다. 이제 (4)에 (2)를 대입하면
><math>\log n\le \frac{\phi(x) + \log[x(x+1)\cdots(x+n)] -\phi(n+1)}{x}\le\log(n+1)\quad \cdots\cdots \quad (5)</math>
(5)의 양변에 <math>\log n</math>을 빼내고 양변에 <math>x</math>를 곱하면
><math>0\le \phi(x) + \log[x(x+1)\cdots(x+n)n^{-x}] -\phi(n+1)\le x\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\quad \cdots\cdots \quad (6)</math>
<math>\phi(n+1)=\log(n!)</math>라는 사실을 이용해서 (6)을 정리하면
><math>0\le \phi(x) - \log\left[\frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\right]\le x\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\quad \cdots\cdots \quad (7)</math>
이제 양변에 <math>n</math>을 무한대로 보내는 극한을 취하면, 다음을 알 수 있다:
><math>\log f(x) = \lim_{n\to\infty}\log\left[\frac{n^x n!}{x(x+1)\cdots(x+n)}\right]</math>
따라서 <math>0<x<1</math>일 때 <math>f</math>는 유일하게 결정된다. 그리고 <math>f(x+1)=xf(x)</math>란 성질을 이용하면 [math(f)]는 양의 실수 전체에서 유일하게 결정됨을 보일 수 있다.
== 참고 문헌 ==
* Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. (International series in pure and applied mathematics), McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-X.
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