[[분류:가져온 문서/오메가]]
サイクロイド / Cycloid
직선 위를 구르는 원의 [[원|원주]] 위의 정점의 자취이다.
== 설명 ==
단위원의 중심의 자취를 [math((t, 1))]이라고 하자. 그러면 [math((0, 0))]에서 시작된 원 위의 정점은
>[math((t-\sin t, 1-\cos t))]
를 지나고, 이 자취는 단위원의 사이클로이드가 되며, 주기는 [math(2\pi)]이다.
그러므로 반지름이 [math(r)]인 원의 사이클로이드는 다음과 같은 방정식으로 나타낼 수 있다
>[math(x=r(t-\sin t)\\y=r(1-\cos t))]
== 길이 ==
단위원의 사이클로이드의 한 마디의 길이를 구하자. 정점의 자취를 [math(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dt}})]로 미분하면
>[math((1-\cos t, \sin t))]
스칼라량으로 전환하면
>[math(\sqrt{(1-\cos t )^2 + (\sin^2 t)} = 2|\sin\frac{t}{2}|)]
[math(\mathrm{dt})]로 적분하면
><math>\int _{0} ^{2\pi} 2|\sin\frac{t}{2}|\mathrm{dt} = 8 </math> 로 원의 지름의 네 배이다.
== 넓이 ==
단위원의 사이클로이드의 한 마디와 [math(x)]축으로 둘러싸인 도형의 넓이는
><math>\int _{0} ^{2\pi} (1-\cos t) \frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{dt}} \mathrm{dt} = \int _{0} ^{2\pi} (1-\cos t)^2 \mathrm{dt} = 3\pi</math> 로 원의 넓이의 세 배이다.
== 보기 ==
* 트로코이드
== 영상 ==
[youtube(KFZG0OcRmvI)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
