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三角函數 / Trigonometric function
직각삼각형에서 직각이 아닌 한 각에 대해 어느 두 변의 비를 나타내는 초월함수이다.
== 단위원을 이용한 정의 ==
단위원 [math(x^2+y^2=1)] 위의 한 점 [math(P(a, b))]를 잡으면 [math(x)]축과 [math(\overline{\mathrm{OP}})]가 이루는 각(Angle) [math(\theta)][math(\mathrm{rad})] 에 대해 각 삼각함수를 다음과 같이 정의할 수 있다:
* 사인(Sine)
<math>\sin \theta = b</math>
* 코사인(Cosine)
<math>\cos \theta =a</math>
* 탄젠트(Tangent)
<math> \tan \theta =\frac{b}{a}</math>
*코시컨트(Cosecant)
<math> \csc \theta\ = \frac{1}{\sin\theta}=\frac{1}{b} \ (= \mathrm{cosec} \theta)</math>
*시컨트(Secant)
<math> \sec \theta= \frac{1}{\cos\theta} =\frac{1}{a}</math>
*코탄젠트(Cotangent)
<math> \cot \theta= \frac{1}{\tan\theta} =\frac{a}{b}</math>
[math(P)]에서 [math(x)]축으로 수선을 그어 직각삼각형을 만들면, 각 삼각함수는 [math(\theta)]에 대해 직각삼각형의 어느 두 변의 비를 나타냄을 알 수 있다. 참고로, 각 [math(\theta)] 의 크기는 '''호''' [math(\mathrm{AP})]의 길이와 같다. 각 삼각함수는 [math(\theta)] 를 정의역, 그 값을 치역으로 하여 [math(y=\sin x)] 와 같은 함수로 표현되는데, 일반적으로 이를 삼각함수라고 일컫는다.
[math(\theta)]의 삼각함수는 [math(2\pi \times n +\theta\ (n\in\mathbb{Z}))]와 같으므로 삼각함수는 주기함수이다. [math(\sin x,\ \cos x,\ \csc x,\ \sec x)]의 주기는 [math(2\pi)]이고, [math(\tan x,\ \cot x)]의 주기는 [math(\pi)]이다.
== 부호 ==
|| [math(P(x, y))]의 위치 || 제1사분면 || 제2사분면 || 제3사분면 || 제4사분면 ||
|| [math(\sin,\ \csc)]의 부호 ||<|3> + || + ||<|2> − || − ||
|| [math(\cos,\ \sec)]의 부호 ||<|2> − || + ||
|| [math(\tan,\ \cot)]의 부호 || + || − ||
== 성질 ==
=== 단위원의 방정식 ===
* [math(\sin^2 x + \cos^2 x = 1)]
=== 덧셈정리 ===
* [math(\sin \left(x \pm y\right)=\sin x \cos y \pm \cos x \sin y)]
* [math(\cos \left(x \pm y\right)=\cos x \cos y \mp \sin x \sin y)]
=== 합성 ===
* [math(\displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2} \sin(\theta + \alpha))] (단, [math(\displaystyle \tan\alpha = \frac{b}{a})] 이다.)
==== 증명 ====
일단, 원식을 [math(\displaystyle a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2} (\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \sin\theta + \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \cos\theta))] 으로 변형할 수 있다.
이제 우측 그림과 같이 원점에서 [math((a, b))]로 그은 선을 빗변으로 하는 삼각형을 생각하고 각 [math(O)]를 [math(\alpha)]라고 하자.
그러면 빗변의 길이는 [math(\sqrt{a^2+b^2})] 이고 [math(\displaystyle \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}})] 이다.
따라서, 원식은 덧셈정리에 의해 [math(\sqrt{a^2+b^2}(\sin \theta \cos \alpha + \cos\theta \sin\alpha) = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha))] 가 된다.
=== 도함수 ===
* [math(\displaystyle (\sin x)' = \lim_{h\to 0} \frac{\sin x \cos h + \cos x \sin h -\sin x}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x \sin h}{h} = \cos x)]
* [math(\displaystyle (\cos x)' = \{\sin (x+\frac{\pi}{2})\}'= \cos(x+\frac{\pi}{2})(x+ \frac{\pi}{2})'=-\sin x)]
* [math(\displaystyle (\tan x)' = (\frac{\sin x}{\cos x})' = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x} = \sec^2 x)]
=== 부정적분 ===
* [math(\displaystyle \int \sin x\ \mathrm{dx} = -\cos x + C)]
* [math(\displaystyle \int \cos x\ \mathrm{dx} = \sin x + C)]
* [math(\displaystyle \int \tan x\ \mathrm{dx} = -\ln |\cos x| + C)]
== 삼각형의 성질 ==
=== 사인법칙 ===
삼각형 [math(\triangle \mathrm{ABC})] 와 이 삼각형의 외접원의 반지름 [math(R)] 에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\displaystyle \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R)]
====증명====
세 가지 경우로 나누어 생각하자.
1. [math(A)]는 예각
* 우측 그림과 같이 원주각 [math(A')]를 잡아 직각삼각형을 만들면 [math(\displaystyle \sin A = \sin A' = \frac{\overline{BC}}{2R} = \frac{a}{2R})] 이다.
2. [math(A)]는 직각
* [math(\sin A=1)] 이고, 직각삼각형의 빗변 [math(\overline{BC})]는 외접원의 지름이므로 성립한다.
3. [math(A)]는 둔각
* 우측 그림과 같이 삼각형의 한 꼭짓점과 원의 중심을 지나는 직선 [math(\overline{BA'})]를 그으면 원에 내접하는 [math(\square ABA'C)]의 각 내대각의 합은 [math(\pi)]이므로 [math(\displaystyle \sin A = \sin (\pi-A) = \sin A'= \frac{\overline{BC}}{2R} = \frac{a}{2R})] 이다.
=== 제일코사인법칙 ===
삼각형 [math(\triangle \mathrm{ABC})] 에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\displaystyle a=b\cos C + c\cos B)]
* [math(\displaystyle b=c\cos A + a\cos C)]
* [math(\displaystyle c=b\cos B + b\cos A)]
==== 증명 ====
우측 그림에서 [math(a=\overline{BH} + \overline{HC})] 이다.
그런데 [math(\displaystyle \cos B = \frac{\overline{BH}}{c} ⇔ \overline{BH}=c \cos B,\ \cos C = \frac{\overline{CH}}{b} ⇔ \overline{CH}=b \cos C)] 이다.
[math(\therefore\ a=b\cos C + c \cos B)] 이다.
=== 제이코사인법칙 ===
삼각형 [math(\triangle \mathrm{ABC})] 에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\displaystyle \cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc})]
* [math(\displaystyle \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac})]
* [math(\displaystyle \cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab})]
==== 증명 ====
세 가지 경우로 나누어 생각하자.
1. [math(C)]는 예각
* 우측 그림에서 [math(\overline{AH}=b\sin C,\ \overline{CH}= b\cos C)] 이고, [math(\overline{BH} = a-\overline{CH})] 이다.
* 따라서 피타고라스의 정리에 의해 [math(c^2 = \overline{BH}^2 + \overline{AH}^2 = (a-b\cos C)^2+(b\sin C)^2 \\ \ \ \ = a^2+b^2-2ab\cos C)] 이다.
2. [math(C)]는 직각
* [math(\cos C=0)] 이므로 피타고라스의 정리에 의해 성립한다.
3. [math(C)]는 둔각
* 우측 그림에서 [math(\overline{AH}=b\sin (\pi - C) = b\sin C,\ \overline{CH}= b\cos (\pi - C)= -b\cos C)] 이고, [math(\overline{BH} = a+\overline{CH})] 이다.
* 따라서 피타고라스의 정리에 의해 [math(c^2 = \overline{BH}^2 + \overline{AH}^2 = (a-b\cos C)^2+(b\sin C)^2 \\ \ \ \ = a^2+b^2-2ab\cos C)] 이다.
== 순허수에 대한 삼각함수 ==
오일러의 공식 [math(e^{i\cdot ki}=\cos ki + i\sin ki ,\ e^{i\cdot -ki}=\cos -ki + i\sin -ki)] 에 의해 다음을 얻는다.
* [math(\displaystyle \sin ki = \frac{e^{-k}-e^{k}}{2i})]
* [math(\displaystyle \cos ki = \frac{e^{-k}+e^{k}}{2})]
덧셈정리를 사용하거나, 위 식의 [math(k)] 에 [math(\displaystyle \frac{k}{i})] 를 대입하여 얻는 다음 식을 이용하면 임의의 복소수에 대한 삼각함수 값을 구할 수 있다.
* [math(\displaystyle \sin x = \frac{e^{xi}-e^{-xi}}{2i})]
* [math(\displaystyle \cos x = \frac{e^{xi}+e^{-xi}}{2})]
=== 쌍곡함수와의 관계 ===
위와 같은 표현은 쌍곡함수의 쌍곡사인과 쌍곡코사인의 정의와 유사하다. 실제로, 다음이 성립한다.
* [math(\displaystyle \sin ki = i \sinh k)]
* [math(\displaystyle \cos ki = \cosh k)]
== 영상 ==
[youtube(8rtkeAzvpYE)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
