[[분류:가져온 문서/오메가]]
[[외부:https://i.imgur.com/ROQCy1W.png|width=600]][* 에테르가 없는 상대성 이론에 따르면, 에테르가 없는 공간은 생각할 수 없습니다. 그러한 공간에는 빛의 전파가 없을 뿐만 아니라, 따라서 물리적인 의미에서 시공간 간격도 없을 것이기 때문입니다.]
相對性 理論 / Theory of Relativity
관찰자가 관측하는 물리량이 그 관측 대상과의 상대적인 운동에 따라, 주변에 분포하는 에너지(Energy)와 운동량(Momentum)에 따라 시공간이 어떤 상태를 가지는지 기술하는 이론이다. 고전물리학에서 쓰는 시공간 개념은 갈릴레오 갈릴레이의 이론을 바탕으로 하여 아이작 뉴턴이 발전시켰지만, 현대물리학에서 쓰는 시공간 개념은 알베르트 아인슈타인이 상대성 이론을 통해 만든 개념을 이용한다.
== 고전적인 시공간 개념 ==
아인슈타인의 특수 상대성 이론(Special Relativity)이 그의 논문 <움직이는 물체의 전기동역학에 대하여>가 나오기 전까지는 고전적인 시공간 개념이 지배적이었다. 이 시공간 개념은 "시간은 누구에게나 일정하게 흐르고, 공간은 무한하고 평평하다."라는 말로 정리할 수 있다.[* 이것은 본래 뉴턴이 생각한 '''절대시간'''과 '''절대공간'''에 대한 개념을 적절히 변형한 것이다. 하지만 우리가 고전물리를 할 때 그냥 아무 생각 없이 사용하는 것을 다시 한 번 수학적으로 검토하면 저 말과 같은 내용을 내포하는 기하 체계를 볼 수 있다.] 이는 우리가 직관적으로도 생각할 수 있는 시공간 개념이다. 이러한 시공간 개념에서는 [math( \begin{bmatrix} t ' \\ \mathbf{x} ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & {\mathbf{0}}^{\mathrm{T}} \\ -\mathbf{v} & \boldsymbol{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ \mathbf{x} \end{bmatrix} )]의 갈릴레이 변환(Galilean Treansformation)이 잘 들어맞는다. 고전적인 시공간 개념은 우리에게 굉장히 실용적이며 수학적으로도 매우 편리하지만, 실제 자연현상을 기술하는 데 있어서 그 정확성은 떨어진다.
== 현대적인 시공간 개념: 민코프스키 공간 ==
전기동역학을 연구하던 물리학자 헨드릭 로렌츠(Hendrik Lorentz)는 우연히 다음과 같은 좌표 변환이 맥스웰 방정식을 불변하게 함을 알아냈다.
[math( \begin{bmatrix} c t ' \\ \mathbf{x} ' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \gamma & - \gamma \! \frac{\mathbf{v}^{\mathrm{T}}}{c} \\ - \gamma \! \frac{\mathbf{v}}{c} & \boldsymbol{I} + (\gamma - 1) \! \frac{\mathbf{v} \mathbf{v}^{\mathrm{T}}}{{v}^{2}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} c t \\ \mathbf{x} \end{bmatrix} )]
이 식에서 [math( \gamma = {1} / {\sqrt{1 - \left ( {{v}^{2}} / {{c}^{2}} \right ) }} )]이다. 그러나 그 자신은 이것이 어떤 것을 의미하는지 설명하지 못했다. 이것에 대한 수학적 의미는 앙리 푸앵카레(Henri Poincaré)가 처음으로 발견하였다. 하지만 그도 고전적인 시공간 개념을 고집하여 결국 새로운 시공간 개념을 주장하지 못했다. 그 후, 아인슈타인이 ''광속 일정의 법칙''과 ''상대성 원리''를 가지고 만든 특수 상대성 이론에서 그 의미를 내포하게 되었다. 아인슈타인의 논문이 발표된 후 수학자였던 헤르만 민코프스키(Herman Minkowski)가 그에 맞는 시공간 구조를 수학적으로 구상하고 민코프스키 공간(Minkowski Space)라는 이름을 얻게 되었다. 이 민코프스키 공간에서의 모든 변환은 수학적으로 푸앵카레 군(Poincaré Group)에 존재한다.
현대적인 시공간 개념에서 유념해야 할 부분은 바로 광속 일정의 법칙이다. 이는 광속은 어디서나 일정하다는 법칙인데, 관측자가 있는 지점에서 광속은 언제나 [math( c )]라는 것이다. (다른 지점을 관찰하는 경우 그 지점의 곡률에 따라서 관측값이 영향을 받을 수 있다.) 이 시공간은 특이한 점이 좌표 변환에서 속도에 수직하지 않는 한 각 좌표 방향 성분의 영향을 받는다. 이것은 시간과 공간이 별개의 것이 아님을 말해주는 것이다. 그리고 시간과 거리는 상대적으로 변하는데, 무한소 시간은 [math( d t )], 무한소 거리를 [math( d l )]이라 한다면, [math( d t = \gamma d {t}_{0} , d l = \frac{1}{\gamma} \! d {l}_{0} )]이다. 여기서 [math( d {t}_{0} )]는 '''고유시간(Proper Time)'''이라 하는데, 이것은 관측 대상이 잰 시간을 나타낸다. 또한 [math( d {l}_{0} )]는 '''고유길이(Proper Length)'''라고 하는데, 이것은 관측자가 잰 길이를 나타낸다. 즉, 관측자가 잰 시간은 운동하는 물체가 잰 시간보다 길다. 또한 관측자가 잰 길이는 운동하는 물체가 잰 길이보다 길다. 이를 각각 '''시간 팽창'''과 '''길이 수축'''이라고 부른다. (''고유''에서 ''고유''가 아닌 것으로 변환하는 것을 기준으로 이름 붙임.) 참고로 이 식에 따르면 관측자가 잰 시간 또는 길이와 관측 대상이 잰 시간 또는 길이는 서로 [math( \gamma : 1)]의 비를 가짐을 알 수 있다.
고전적인 시공간 개념에서는 시간과 공간이 각각 별개였고 공간의 계량 텐서는 (직교좌표계를 쓰면) [math( {\delta}_{i j} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} )]이다. 이러한 성질을 가지는 것은 3차원 유클리드 공간 [math( {\Bbb{E}}^{3} )]이며, 고전적인 공간은 3차원 유클리드 공간이었던 것이다. 하지만 민코프스키 공간 [math( {\Bbb{M}}^{4} )]에서는 시간과 공간이 별개가 아니고 시공간의 계량 텐서는 (유사직교좌표계를 쓰면) [math( {\eta}_{\mu \nu} = \begin{pmatrix} +1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} )]이다. (위와 같은 표기법을 흔히 (+---) 표기법이라고 한다.) 물리학에서 3차원 공간에 존재하는 한 입자의 지점을 '''위치(Position)'''라고 한다면, 4차원 공간에 존재하는 한 입자의 지점을 '''사건(Event)'''이라고 부른다. 민코프스키 공간에서 사건이 이동한 경로인 '''세계선(World Line)'''의 길이를 구하는 방법은 3차원 공간에서 입자의 '''이동경로(Path)'''를 구하는 방법인 [math( s = \int_{l} d s = \int_{l} \sqrt{{\delta}_{i j} {d x}^{i} {d x}^{j}} )]와 유사하게 [math( s = \int_{\mathit{\lambda}} d s = \int_{\mathit{\lambda}} \sqrt{{\eta}_{\mu \nu} {d x}^{\mu} {d x}^{\nu}} )]이다. 이때 [math( {d s}^{2} )]이 어떠하느냐에 따라 '''시간적(timelike)''', '''공간적(spacelike)''', '''널(null)''' 간격이라고 부른다. 시간적 간격은 [math( {d s}^{2} > 0 )]인 경우이고, 공간적 간격은 [math( {d s}^{2} < 0 )]인 경우이다. 널 간격은 [math( {d s}^{2} = 0 )]인 경우를 말한다. 우리가 일상적으로 느끼는 인과율의 원리가 통하는 간격은 시간적 간격이고, 빛은 널 간격을 따라 진행한다. 또한 양자장론에서 상대론적 인과율을 고려하는 경우 공간적 간격을 고려하여 특별한 조건을 가한다.
== 중력에 대한 상대성 이론의 설명 ==
상대성 이론은 수학적인 관점에서 보자면, 시공간의 기하에 대한 이론이다. 아인슈타인의 처음 생각은 이러한 견해가 아니었지만, 특수 상대성 이론과 중력에 대한 해석이 전자기력과 다르게 이상한 결론을 내놓기에 이를 해결하고자 하는 관점에서 생겨났다.[* 이 문제에 대해서는 웬만한 상대성 이론 교재에서 다 넣어 풀게 한다. 결과가 이상해도 당혹스러워 하지 마라. 그게 정상이다.]
일반 상대성 이론에 따르면, 어떤 시공간 상의 점 [math( \mathrm{P} )]에 대하여 그 점 주위의 국소적 시공간에 대해 계량 텐서 [math( {g}_{\mu \nu}(\mathrm{P}) = {\eta}_{\mu \mu} + {\zeta}_{\mu \nu}(\mathrm{P}) )]를 '''중력 퍼텐셜'''이라고 한다. 따라서 어떤 계의 (국소적) 에너지-운동량 텐서가 [math( {T}^{\mu \nu} )]일 때, 중력 퍼텐셜 에너지 밀도는 [math( u = {g}_{\mu \nu} {T}^{\mu \nu} )]이다. 이것을 전개해서 보면 독특한 점이 있는데, 그것은 평평한 시공간에서 좌표계를 유사직교좌표계를 사용한 경우의 중력 퍼텐셜 에너지 밀도는 그 계가 가지는 전체 에너지 밀도라는 것이다. 이 말은 곧 특수 상대성 이론적인 에너지는 그 자체로 중력 퍼텐셜 에너지라는 것이다.
이러한 시공간에서, 중력장의 역할을 하는 크리스토펠 기호는 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma} = \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {g}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {g}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {g}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) = \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {\eta}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\eta}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {\eta}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) + \frac{1}{2} {g}^{\rho \sigma} \left ( \frac{\partial {\zeta}_{\rho \mu}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\zeta}_{\mu \nu}}{\partial {x}^{\rho}} + \frac{\partial {\zeta}_{\nu \rho}}{\partial {x}^{\mu}} \right ) = {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\eta) + {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\zeta) )]이다. 마지막 변에서 첫번째 항 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\eta) )]를 '''관성장(Inertia Field)'''이라고 하고 두번째 항 [math( {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}(\zeta) )]를 '''끌림장(Dragging Field)'''이라고 한다. 따라서 관측자가 측정하는 중력은 관성장과 끌림장이 같이 작용하는 것처럼 보인다. 즉, 관측되는 중력은 (4차원 힘으로 나타냈을 때) [math( {F}^{\sigma} = m {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma} {v}^{\mu} {v}^{\nu} )]이다.[* 좀 깊이 생각하는 사람들은 앞의 식에 대해 의문을 제기할 수 있다. 즉, 왜 크리스토펠 기호에 계 전체의 에너지-운동량 텐서가 아닌 다입자계의 에너지-운동량 텐서 [math( \rho {v}^{\mu} {v}^{\nu} )]를 집어넣느냐 하는 의문이다. 참고로 중력장을 제외한 다른 장의 에너지-운동량 텐서의 변화량은 다입자계에 걸리는 힘으로 된다. 역학에서 힘이란 오직 입자에게만 걸리기 때문에 그렇다.]
참고로 미분기하학에서 크리스토펠 기호를 한 번 더 미분한 것을 곡률 텐서(Curvature Tensor)라고 한다. 일반 상대성 이론에서는 리치 곡률 텐서(Ricci Curvature Tensor)를 쓰는데, 여기서는 그냥 곡률 텐서라고 하겠다. 곡률 텐서는 다음과 같이 정의된다. [math( {R}_{\mu \nu} = \frac{\partial {\Gamma}_{\mu \sigma}^{\sigma}}{\partial {x}^{\nu}} - \frac{\partial {\Gamma}_{\mu \nu}^{\sigma}}{\partial {x}^{\sigma}} + {\Gamma}_{\mu \rho}^{\sigma} {\Gamma}_{\nu \sigma}^{\rho} - {\Gamma}_{\mu \nu}^{\rho} {\Gamma}_{\rho \sigma}^{\sigma} )]이 텐서는 비앙키 항등식(Bianchi Identity) [math( {\nabla}_{\mu} \left ( {R}_{\mu \nu} - \frac{1}{2} {g}_{\mu \nu} R \right ) = 0 )]을 만족한다. 여기서 [math( R = {g}^{\mu \nu} {R}_{\mu \nu} )]는 곡률 스칼라(Curvature Scalar)이다.
만일 우리가 관성장과 끌림장을 분리해내더라도 어느 것이 관성장이고 어느 것이 끌림장인지 모를 수 있다. 하지만 고전장론에 따르면, 장 텐서의 미분으로 얻은 텐서는 그 장의 원천이 되는 텐서에 정비례한다. 이것을 생각하면 곡률 텐서가 원천 에너지-운동량 텐서에 정비례할 것으로 생각하기 쉽다. 하지만 곡률 텐서는 에너지-운동량 텐서와 달리 공변 미분이 0이 아니다. 따라서 아인슈타인 텐서 [math( {G}_{\mu \nu} = {R}_{\mu \nu} - ({1} / {2}) {g}_{\mu \nu} R )]을 정의하여 쓴다. 중력장에 대한 도함수 텐서는 바로 아인슈타인 텐서이다. 아인슈타인 텐서를 도입하여 장 방정식(Field Equation)을 기술하면, [math( {G}_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{{c}^{4}} {T}_{\mu \nu} )]이다. 이 식을 '''아인슈타인 방정식(Einstein Equation)'''이라고 한다. 관성장의 아인슈타인 텐서는 계산하지 않아도 0임을 알 수 있다. 하지만 끌림장에 대해서는 그렇지 않다. 즉, 끌림장의 원천은 바로 다른 곳에 있는 에너지-운동량 텐서이며, 좀 더 실재적으로 말하자면 에너지와 운동량, 그리고 그것들의 흐름이 바로 끌림장을 만들어내는 것이다.
== 우주상수의 의미 ==
우주상수 [math( \Lambda )]를 도입한 아인슈타인 방정식은 다음과 같다. [math( {G}_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{{c}^{4}} {T}_{\mu \nu} - \Lambda {g}_{\mu \nu} )]우주상수 항을 에너지-운동량 텐서와 합치려고 한다면 우주상수에 의한 에너지-운동량 텐서는 [math( {T}_{\mu \nu}^{\text{Cos}} = - \frac{{c}^{4} \Lambda}{8 \pi G} {g}_{\mu \nu} )]이다. 이것이 의미하는 것은 시공간이 그 자체적으로 가지는 에너지와 압력을 의미한다. 즉, 우주상수는 시공간이 그 자체로 가지는 에너지와 압력을 나타내는 상수라고 할 수 있다.
== 우주상수와 새로운 공간들 ==
아인슈타인 방정식의 진공 해에 대하여 새로운 기술을 할 수 있는데 아인슈타인 방정식의 진공 해가 우주 상수로 주어진 경우 그 값이 0 이라면 그 공간은 민코프스키 공간이라고 새롭게 정의하며 우주 상수의 값이 양인 경우, 드 시터르 공간이라고 부른다. 마지막으로 값이 음인 경우, 반 더 시터르 공간이라고 정의한다.
== 영상 ==
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