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sandwich theorem
함수의 극한과 관련된 정리이다. 압착 정리(pinching theorem), 스퀴즈 정리(squeeze theorem)라고도 부른다. 상계와 하계를 알고 그 극한값이 같다면 극한값을 구하기 어려운 함수의 극한값을 구하는 데에 사용할 수 있다.
== 진술 ==
함수 [math(f, g, h)]와 [math(L)]에 가까운 [math(x)]에 대하여 [math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L=\lim\limits_{x\to a}g(x))]이고 [math(f(x)\leq h(x)\leq g(x))]이면 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다.
이 때, 함수 [math(f)]를 [math(h)]의 하계, [math(g)]를 [math(h)]의 상계라 한다.
== 증명 ==
[math(\lim\limits_{x\to a}f(x)=L)]이므로 엡실론-델타 논법에 의해,
* <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_1>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |f(x)-L|<\varepsilon</math>
이다. 마찬가지로, [math(\lim\limits_{x\to a}g(x)=L)]이므로
* <math>\forall\varepsilon>0, \exists \delta_2>0, \ \forall x : 0<|x-a|<\delta_1 \implies |g(x)-L|<\varepsilon</math>
이다. [math(\delta = \min(\delta_1, \delta_2))]이라 했을 때 [math(0<|x-a|<\delta)]이면
* <math>L-\varepsilon < f(x) <L+\varepsilon</math>
이고
* <math>L-\varepsilon < g(x) <L+\varepsilon</math>
이여서
* <math>L-\varepsilon < f(x) \le h(x) \le g(x) < L +\varepsilon </math>
임을 알 수 있다. 따라서 [math(0<|x-a|<\delta)]이면
* <math>-\varepsilon < h(x) - L < \varepsilon </math>
이다. 따라서 극한의 정의에 의해 [math(\lim\limits_{x\to a}h(x)=L)]이다.
== 예시 ==
*<math>\cos x \leq \frac{\sin x}{x} \leq 1</math> 이고 <math>\lim_{x \to 0} \cos x = \lim_{x \to 0} 1 = 1</math> 이므로 <math>\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1</math> 이다.
== 영상 ==
[youtube(mlB022kKpO8)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
