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Limit of sequence
직관적으로 [[수열]] [math(\{a_n\})]의 첨자 [math(n)]이 커짐에 따라 [math(a_n)]이 한없이 가까워지는 값을 말한다.
== 정의 ==
수열 [math( \{ a_n \})]의 극한은 다음과 같이 정의한다.
* [math(\{a_n\})]이 실수열일때, 어떤 [math(a \in \Bbb{R})]이 있어 모든 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(N \in \mathbb{N})]이 존재하여 [math(n > \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \mathbb{N})]에 대하여 [math(|a_n -a|<\epsilon)] 이 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.
* [math(\{a_n\})]이 거리함수 [math(d)]를 갖는 [[거리공간]] [math(X)]에서의 수열일 때, 어떤 [math(a \in X)]가 있어 모든 [math(\epsilon >0)]에 대해 [math(N \in \Bbb{N})]이 존재하여 [math(n \geq \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여 [math(d(a_n,a)<\epsilon)] 이 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.
* [math(\{a_n\})]이 위상공간 [math(T)]에서의 수열일 때, 어떤 [math(a \in T)]가 있어 [math(a)]의 임의의 근방 [math(O)]에 대해 [math(N \in \Bbb{N})]이 존재하여 [math(n \geq \mathbb{N})]인 모든 [math(n \in \Bbb{N})]에 대하여 [math(a_n \in O)]가 성립하면 [math(a)]를 수열 [math(\{a_n \})]의 극한이라고 한다.
수열 [math(\{a_n\})]의 극한이 [math(a)]일 때 [math(\lim_{n \to \infty} a_n=a)]로 표기한다.
수열의 극한이 존재할 때 이 수열은 수렴한다고 하고, 그렇지 않을 경우 발산한다고 한다.
사실 [math(\Bbb{R})]은 거리공간이며 거리공간은 위상공간의 한 부분이므로 실수열의 극한의 정의와 거리공간에서의 실수의 극한의 정의는 위상공간에서의 수열의 극한의 정의의 특수한 경우이다.
== 성질 ==
=== 연산 ===
수렴하는 복소수열 [math(\{a_n\} \to a,\ \{b_n\} \to b)]과 상수 [math(c \in \Bbb{C})]에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\displaystyle \{a_n+b_n\} \to a+b)]
* [math(\displaystyle \{ca_n\} \to ca,\ \{c+a_n\} \to c+a)]
* [math(\displaystyle \{a_nb_n\} \to ab)]
* [math(\displaystyle \{\frac{1}{a_n}\} \to \frac{1}{a}\ \text{if}\ a_n \neq 0, a \neq 0)]
==== 증명 ====
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\frac{\epsilon}{2}\ \text{if}\ n \geq N_2\ \Rightarrow\ |(a_n+b_n)-(a-b)| \leq |a_n-a|+|b_n-b|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \{a_n+b_n\} \to a+b)]
* [math(\displaystyle \text{if}\ c=0,\ \text{trivial}.\ \text{if}\ c \neq 0,\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{\epsilon}{|c|}\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |ca_n-ca|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{ca_n\} \to ca\\ \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |(c+a_n)-(c+a)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \{c+a_n\} \to c+a)]
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N_1, N_2 \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_1,\ |b_n-b|<\sqrt{\epsilon}\ \text{if}\ n \geq N_2 \Rightarrow |(a_n-a)(b_n-b)|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N_1+N_2\\\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty} a_nb_n=\lim_{n \to \infty} ((a_n-a)(b_n-b)+a(b_n-b)+b(a_n-a)+ab)=ab\\\displaystyle \therefore \{a_nb_n\} \to ab)]
* [math(\displaystyle \forall \epsilon>0\ \exists N \in \Bbb{N}\ \text{s.t.}\ |a_n-a|<\frac{1}{2}|a|^2\epsilon<\frac{1}{2}|a|^2\ \text{if}\ n \geq N\ \Rightarrow |a_n|>\frac{1}{2}|a|\ \Rightarrow |\frac{1}{a_n}-\frac{1}{a}|=|\frac{a_n-a}{a_na}|<\frac{2}{a^2}|a-a_n|<\epsilon\ \text{if}\ n \geq N\\\displaystyle \therefore \lim_{n \to \infty} \frac{1}{a_n}=\frac{1}{a})]
== 예시 ==
* 실수열 [math(a_n=\frac{1}{n})]의 극한은 [[0]]이다.
== 영상 ==
[youtube(oyHsZbGMx4I)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
