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Ideal, 이데알
환 <math>R</math>의 원소들을 곱셈으로 흡수하는 <math>R</math>의 가법적 부분군을 말하는 것으로, 쿠머가 제시한 이상수(ideal number)의 개념을 데데킨트가 일반화시킨 것이다.
== 정의 ==
환 [math(R)]의 부분집합 [math(I)]에 대해 [math((I,+))]가 [math((R, +))]의 부분군일 때
><math>\forall x \in I, \forall r \in R :(x \cdot r \in I)\wedge(r\cdot x \in I) </math>
이면 [math(I)]를 [math(R)]의 아이디얼(Ideal) 혹은 양쪽아이디얼(Two-sided ideal)이라고 한다. 임의의 [math(r\in R)], [math(x\in I)]에 대해 [math(x \cdot r \in I)]를 만족하면 우아이디얼(Right ideal), [math(r\cdot x \in I)]를 만족하면 좌아이디얼(Left ideal)이라고 한다. [math(R)]이 가환환이면 양측아이디얼을 갖는다.
== 예시 ==
* [math(\mathbb{Z}[x])]에서 [math(I)]를 상수항이 짝수인 모든 다항식의 집합이라고 하면 [math(I)]는 아이디얼이다.
* [math(\mathbb{Z})]는 [math(\mathbb{Q})]의 부분환이지만 [math(\mathbb{Q})]의 아이디얼이 아니다.
== 아이디얼의 생성 ==
항등원이 있는 가환환 [math(R)]과 [math(c_1,c_2,\cdots,c_n\in R)]에 대해 집합 [math(I)]를 다음과 같이 정의하자.
>[math(I=\{r_1c_1+r_2c_2+\cdots+r_nc_n\vert r_1,r_2,\cdots,r_n\in R\})]
그러면 [math(I)]는 [math(R)]의 아이디얼이고, [math(c_1,c_2,\cdots,c_n)]에 의해 생성되는 아이디얼이라고 한다. 만약 [math(n=1)]이면 [math(I)]를 주아이디얼이라고 한다.
== 종류 ==
* 진 아이디얼(Proper ideal) : [math(R)]이 아닌 [math(R)]의 아이디얼을 말한다. 참고로, 어떤 아이디얼이 [math(1)]을 포함한다는 것은 그 아이디얼이 환 전체라는 것과 동치이다.
* 극대 아이디얼(Maximal ideal) : [math(I)]를 포함하면서 [math(I)]와 같지 않은 진 아이디얼이 존재하지 않는 진 아이디얼 [math(I)]를 말한다. 환을 극대 아이디얼로 나눈 몫은 [[체]]가 된다.
* 소 아이디얼(Prime ideal) : [math(R)]의 임의의 원소 [math(a)]와 [math(b)]에 대해 [math(ab)]가 [math(I)]의 원소라면 언제나 [math(a)]와 [math(b)] 중 적어도 하나는 [math(I)]의 원소가 되는 진 아이디얼 [math(I)]를 말한다. 환을 소 아이디얼로 나눈 몫은 정역이 된다.
* 주 아이디얼(Principal ideal): 하나의 원소 [math(a\in R)]에 의해 생성(generate)된 아이디얼을 말한다.
== 연산 ==
아이디얼은 집합이므로 합집합과 교집합 등의 집합 연산을 할 수 있다. 일반적으로 환 [math(R)]의 두 아이디얼 [math(I)], [math(J)]의 교집합 [math(I\cap J)]은 [math(R)]의 아이디얼이지만, 합집합 [math(I\cup J)]은 아이디얼이 아닐 수도 있다.
그 이외에 다음의 연산들이 정의된다.
=== 덧셈 ===
><math>I+J=\{x+y\mid x\in I, y\in J\}</math>
이는 [math(I)]와 [math(J)]를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다.
=== 곱셈 ===
><math>IJ=\left\{\sum_{i=1}^n x_i y_i\mid x_i\in I, y_i\in J\right\}</math>
이는 [math(\{xy\mid x\in I, y\in J\})]를 포함하는 가장 작은 아이디얼이다. 일반적으로 두 아이디얼의 곱은 두 아이디얼의 교집합의 부분집합이다.
== 영상 ==
[youtube(iAo5ldKtPRk)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
