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위상수학에서 연결공간(Connected space)이란 두 개의 서로소인 개집합으로 분할되지 않는 공간을 말한다.
== 정의 ==
위상공간 [math(X)]가 비연결공간이란 것은 [math(X)] 위의 개집합 [math(U)], [math(V)]가 있어 [math(U\cap V=\varnothing)]이고 [math(U\cup V=X)]인 것이다. 비연결공간이 아닌 공간을 연결공간이라고 한다.
== 동치인 정의 ==
위상공간 [math(X)]가 연결일 필요충분조건은 다음과 같다:
* [math(X)]의 부분집합 [math(A)], [math(B)]가 있어 [math(A\cup B=X)]이고 [math(\overline{A}\cap B=A\cup\overline{B}=\varnothing)]이다.
* [math(X)] 위의 개폐집합은 공집합과 자기 자신 뿐이다.
* [math(X)]에서 이산공간 [math(\{0,1\})]으로 가는 연속함수는 상수함수이다.
== 예시 ==
* [[실수|실수선]] 위의 임의의 구간은 연결이다. 역으로, 실수 구간 위의 임의의 연결집합은 구간이다.
* 보다 일반적으로, 선형 연속체 위의 구간은 연결이다.
* 모든 호상연결공간은 연결이다. 하지만 그 역은 성립하지 않는다.
* 위상수학자의 사인 곡선
== 성질 ==
연결공간의 임의 곱은 연결이다. 또한, 어느 공간의 연결 부분공간의 폐포 또한 연결이다. 그리고 쌍마다 만나는 연결 부분공간들의 합집합 또한 연결이다.
연결공간의 연속함수에 의한 상 또한 연결이다. 특히, [math(X)]가 연결공간이고 [math(f)]가 [math(X)]에서 실수 공간으로 가는 함수이면 [math(f)]는 중간값 성질을 만족한다.
== 영상 ==
[youtube(Anx4tAOWX9Q)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
