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Euler's Criterion
[[르장드르 기호]]를 계산하는 한 방법이다.
== 진술 ==
홀소수 [math(p)]에 대하여 [math((n|p) \equiv n^{\frac{p-1}{2}} \ (\mathrm{mod}\ p))]이다.
== 증명 ==
만약 [math((n|p)=1)]이라면 [math(x^2 \equiv n\ (\mathrm{mod}\ p))]인 [math(x \in \Bbb{Z})]가 존재하므로 [math(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv x^{p-1} \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ p))]. 따라서 성립.
임의의 [math(n \in \Bbb{Z})]에 대하여 [math(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv \pm 1\ (\mathrm{mod}\ p))]인데, 합동방정식 [math(x^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1\ (\mathrm{mod}\ p))]의 해는 정확히 [math(\frac{p-1}{2})]개이므로 그 해는 [math((n|p)=1,\ 1 \leq n \leq p-1)]인 [math(\frac{p-1}{2})]개의 자연수들이다. 그러므로 나머지 [math((n|p)=-1,\ 1 \leq n \leq p-1)]인 [math(\frac{p-1}{2})]개의 자연수들은 [math(n^{\frac{p-1}{2}} \equiv -1\ (\mathrm{mod}\ p))]을 만족한다. 따라서 증명되었다.
== 예시 ==
[math((17|23) \equiv 17^{\frac{22}{2}} \equiv 17^11 \equiv 34271896307633 \equiv -1\ (\mathrm{mod}\ 23))]
따라서 [math((17|23)=-1)]이다.
== 영상 ==
[youtube(deifygl7D5w)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
