[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[http://archive.ph/fLk44|링크]])]
유한 생성 가군(Finitely-generated module)이란 유한 개의 생성원을 갖는 가군을 말한다.
== 정의 ==
[math(R-)]좌가군 [math(M)]의 임의의 원소 [math(x)]에 대해 [math(x=r1a1+r2a2+...rnan)]를 만족하는 [math(r1,r2,...,rn∈R)]이 존재하도록 하는 [math(a1,a2,...,an∈M)]이 존재하면, [math(M)]을 유한 생성 가군이라 하고 [math(a1,a2,...,an)]을 [math(M)]의 생성원, [math({a1,a2,...,an})]을 [math(M)]의 생성 집합이라 한다.
== 유한 계수의 자유 가군 ==
[math(R)]이 가환환 일 때, 유한 생성 [math(R-)]가군 [math(M)]의 생성 집합이 선형 독립이면 [math(M)]은 유한 계수의 자유 가군이 된다.
== PID 상의 유한 생성 가군 ==
PID 상의 유한 생성 가군은 다음과 같은 몇 가지 성질을 가진다.
=== R이 PID일 때, 계수가 n인 자유 R-가군 M에 대해 M의 부분 가군 N 역시 자유 R-가군이고, 그 계수는 최대 n이다 ===
==== 증명 ====
수학적 귀납법을 사용하자. [math(n=1)]일 때, [math(M≅R)]이므로 [math(M)]의 부분 가군 [math(N)]은 [math(R)]의 아이디얼로 생각할 수 있고, [math(R)]은 PID이므로 [math(N=aR)]인 [math(a∈R)]가 존재한다.
만약 [math(a=0)]이면, [math(N=0)]이므로 계수가 0인 자유 [math(R-)]가군이 된다.
[math(a≠0)]이면,[math(N≅R)]이므로 계수가 1인 자유 [math(R-)]가군이 된다.
이제 [math(n=k)]일 때 위 명제가 성립한다고 가정하자. [math(M)]의 기저를 [math({e1,e2,...,ek+1})]이라 하고, [math({e1,e2,...,ek})]로 생성되는 자유 가군을 [math(P)]라고 하면 [math(N∩P)]는 계수가 [math(k)]인 자유 가군의 [math(P)]의 부분군이므로 자유 가군이 된다. 만약 [math(N=N∩P)]이라면 [math(P)]는 계수가 [math(k)]인 자유 가군이 된다.
[math(N≠N∩P)]이라면 [math(N)]을 [math(N)]의 [math(ek+1)] 좌표로 보내는 사상 [math(f:N→R)]의 상 [math(im(f))]는 [math(R)]의 0이 아닌 이데알이 되고, [math(R)]은 PID이므로 [math(im(f)=bR)]인 [math(b∈R)]가 존재한다.
[math(f(y)=b)]인 [math(N)]의 원소를 [math(y)]라 하면 임의의 [math(x∈N(f(x)=bc, c∈R))]에 대해 [math(x=cy+x−cy)]으로 표현 가능하고 [math(c∈R, x−cy∈N∩P)]이므로 [math(N≅R⊕N∩P)], [math(N)]는 계수가 [math(k+1)]인 자유 가군이 된다.
