[[분류:가져온 문서/오메가]]
급수의 수렴 여부를 판정하는 방법의 하나로써 적분법을 이용하는 것이다.
== 진술 ==
연속함수 <math> f: [1, \infty) \to \mathbb{R} </math>가 감소함수이고 항상 <math>f(x)>0</math>일 때, 급수 <math>\sum f(n)</math>이 수렴할 필요충분조건은 적분 <math>\int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx } := \lim _{ b \to \infty }{ \int _{ 1 }^{ b }{ f(x)dx } } </math>가 수렴하는 것이다.
== 증명 ==
부등식 <math>f(n+1)\le \int _{ n }^{ n+1 }{ f(x)dx }\le f(n)</math>에서 [math(n=1)]부터 더하면
><math>f(2)+...+f(n+1)\le \int _{ 1 }^{ n+1 }{ f(x)dx }\le f(1)+...+f(n)</math>
을 얻는다. 따라서
><math> \sum _{ n\ge 2 }{ f(n) }\le \int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx }\le \sum _{ n\ge 1 }{ f(n) }\le f(1)+\int _{ 1 }^{ \infty }{ f(x)dx }</math>
이고, [[비교판정법]]에 의해 명제가 성립한다. ■
== 영상 ==
[youtube(JmDVcsKNLk0)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
