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Zorn's lemma
[[선택공리]]와 동치인 집합론의 정리 중 하나이다. 이 정리는 하우스도르프 극대원리를 함의한다.
== 진술 ==
모든 [[전순서집합|사슬]]이 상계를 갖는 공집합이 아닌 [[반순서집합]]은 적어도 하나의 극대원소를 포함한다.
== 증명 ==
공집합이 아닌 반순서집합 [math((P, ≤))]는 하우스도르프 극대원리에 의해 [math(⊆)]에 대한 극대원소인 사슬을 갖는다. 이 사슬을 [math(T)]라 하고 [math(T)]의 상계를 [math(a)]라 하면 적당한 [math(x≥a\ (x\in P))]가 존재해서 [math(T∪\{x\})]는 [math(P)]의 사슬이다. 따라서 이는 [math(T)]와 같고 [math(x=a)]이므로 [math(P)]는 극대원소 [math(a)]를 갖는다.
마찬가지로, 사슬이 하계를 갖는 공집합이 아닌 반순서집합은 적어도 하나의 극소원소를 포함한다.
==참고 문헌==
* Shwu-Yeng T Lin, You-Feng Lin (1999) Set Theory: An Intuitive Approach. ISBN 0-395-17088-5.
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
