[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316144437/http://mathwiki.net/%EC%BD%94%EC%8B%9C%EC%9D%98_%EC%A0%95%EB%A6%AC_(%EA%B5%B0%EB%A1%A0)|링크]])]
코시의 정리(Cauchy's theorem)란 군론의 정리 중 하나로 제1 쉴로브 정리의 특수한 경우이다.
== 진술 ==
[math(G)]가 유한군이고 소수 [math(p)]가 [math(G)]의 위수의 약수라면 [math(G)]는 위수가 [math(p)]인 원소를 갖는다.
== 증명 ==
=== [math(G)]가 아벨군인 경우 ===
수학적 귀납법을 사용하자.
[math(|G|=2)]일 경우 자명하다. [math(|G|)]가 3 이상일 때, 위수가 [math(|G|)]보다 작은 모든 유한군에 대해 위 명제가 성립한다고 가정하자. [math(G)]의 임의의 원소 [math(x)]의 위수 [math(|x|=a)]가 소수가 아니면 [math(a=qb(q)]는 소수) 꼴로 나타낼 수 있고, [math(|x^b|=q)]가 되므로 [math(G)]는 항상 위수가 소수인 원소를 갖는다.
일반성을 잃지않고 [math(x)]를 위수가 [math(q(q)]는 소수)인 [math(G)]의 원소라고 하자. [math(q=p)]이면 [math(G)]는 위수가 [math(p)]인 원소를 갖는다. [math(q≠p)]일 경우, [math(H=G/⟨x⟩)]의 위수는 [math(|G|/q)]이고 [math(|G|/q)]는 [math(|G|)]보다 작으므로 가정에 따라 [math(H)]는 위수가 [math(p)]인 원소 [math(y⟨x⟩(y)]는 [math(G)]의 원소)를 갖는다. [math(y)]의 위수를 [math(m)]이라고 하면 [math((y⟨x⟩)^m=⟨x⟩)]이므로 [math(p)]는 [math(m)]의 약수이고, [math(m=pn)]이라고 하면 [math(|y^n|=p)]이므로 [math(|G|)]는 위수가 [math(p)]인 원소를 갖는다.
=== 일반적인 경우 ===
다음과 같은 집합 [math(S)]를 고려하자:
[math(S=\{(g_1,\cdots,g_n) : g_1g_2\cdots g_n=e\})]
이 때 [math(S)]의 원소는 [math(g_1,\cdots,g_{n-1})]만으로 결정되므로, [math(|S|=|G|^{n-1})]이다.
이제 [math(S)] 위의 작용 [math(\alpha: (\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})\times S\to S)]를 [math(\alpha(k,(g_1,\cdots,g_n)) = (g_{k+1},\cdots,g_n,g_1,\cdots,g_k))]로 정의하자. 이 때 [math(S_0\subset S)]를 [math(\Bbb{Z}/p\Bbb{Z})]의 임의의 원소를 작용해도 변하지 않는 원소들의 집합이라 하면, [math(S_0=\{(a,a,\cdots,a)\in G^p : a^p=e\})]가 된다.
[math(Gx_1, ⋯, Gx_k)]를 원소가 둘 이상인 궤도라 할 때, [math(|S| = |S_0| + \sum_{i=1}^k |Gx_i|)]이다. 이 때 궤도-안정자군 정리에 의해 [math(|Gx_i|=p)]이다. 또한 [math(p\mid |S|)]이므로, [math(p\mid |S_0|)]이다. 그런데 [math((e,e,\cdots,e)\in S_0)]이다. 따라서 [math(|S_0|\ge p)]여야 한다. 그러므로 어느 [math(a\neq e)]가 있어 [math(a^p=e)]이다.
