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Cullen number
[math(n \cdot 2^n+1)] 꼴의 자연수를 말하며, [math(C_n)]으로 표현한다.
== 역사 ==
1905년 James Cullen은 처음으로 [math(C_n=n \cdot 2^n+1)] 꼴의 숫자들에 대해 연구를 시작했다.
그는 [math(n=53)]일 때 [math(C_n)]이 소수일 여지를 남겨두고 [math(C_n)]이 [math(1 < n < 100)]인 53 이외의 모든 [math(n)]에 대해 합성수임을 발견했다.
1906년 Allan Joseph Champneys Cunningham은 5591 [math(C_{53})]의 소인수라는 것을 발견함으로서 [math(C_{53})]이 합성수임을 보였다.
그리고 Cullen의 발견내용을 [math(n=141)]일 때 [math(C_{141})]이 소수일 여지를 남겨두고 [math(1 < n \leq 200)]로 확장시켰다. 또한 쿨렌 소수가 매우 드물게 나타난다는 것을 지적했다.
1957년 Raphael Mitchel Robinson은 [math(C_{141})]이 [math(1 < n \leq 1000)]에서 유일한 소수임을 보였다.
1976년 Christopher Hooley는
>showed that the natural density of positive integers [math(n \leq x)] for which [math(C_n)] is a prime is of the order [math(o(x))] for [math(x \to \infty\ \Rightarrow)] almost all Cullen numbers are composite
2009년 [[일본]]의 PrimeGrid 참여자는 현재까지 알려진 가장 큰 쿨린 소수 6679881 × 26679881 + 1를 찾았다, 이는 2,010,852자리 숫자이다.
=== 인수분해 ===
많은 방법, 프로그램, 그리고 컴퓨터들이 사용되었다.
* 방법 : MPQS (multiple polynomial quadratic sieve), ECM (elliptic curve method)
* 프로그램 : UBASIC, ECMX, MPQSX, MPQSHD, MVFAC, APRT-CL (Cohen-Lenstra version of Adleman-Pomerance-Rumely Test)
* 컴퓨터 : IBM ES/9021-440 mainframe, Fujitsu VP 2200/10 vector processor, SNI S100/10
== 가분성 ==
* 홀수 [math(p)]에 대하여 [math(nk = ( 2^k - k )( p - 1 ) - k ,\ k > 0)]이면 [math(p | C_{nk})]이다.
* [math((2|p) = -1)]이면 [math(p | C_{(p+1)/2})], [math((2|p) = 1)]이면 [math(p | C_{(3p-1)/2})]이다.
* [math(\{C_n \operatorname{mod} p\})] 은 주기 [math(p \operatorname{ord}_p 2)]를 가진다.
== 쿨렌 소수 ==
[math(C_n)]이 소수일 때 이를 '''쿨렌 소수'''라고 한다,
[math(n \cdot 2^n \pm 1)]가 모두 소수일 때, 이를 '''쿨렌 쌍둥이 소수'''라고 한다.
A005849는 [math(C_n)]이 소수인 [math(n)]의 수열이다. 또한 A050920는 쿨렌 소수들의 수열이다.
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
