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Elliptic curve
군 연산을 준 곡선이며 대수학적 성질과 기하학적 성질을 동시에 가지고 있어 매우 중요하게 다뤄진다.
== 정의 ==
고등학교 수준으로 정의하자면 [math(a,b)]가 실수면 실수 집합 위의 타원곡선은 [math( y^2=x^3+ax+b)]꼴의 방정식으로 정의된다.
좀 더 명확하게 정의하자면 [math(k)]가 체이고 [math(a,b\in k)]일 때 [math(k)] 위의 타원곡선 [math(E(k))]는 [math( y^2z=x^3+axz^2+bz^3)]를 만족하는 [math((x:y:z)\in \Bbb{P}^3_{k})]들의 모임으로 정의한다. 여기에서 [math(4a^3+27b^2\ne 0)]이다.
대수기하의 언어를 쓰자면 체 [math(k)] 위의 타원곡선 [math(E(k))]은 [math(k)] 위의 nonsingular projective curve of genus [math(1)]으로 정의된다. 이는 임의의 가환환 [math(R)]로 일반화될 수 있는데 이 때는 정의가 [math(R)] 위의 nonsingular, projective scheme of all geometric fibre is dimension [math(1)]이 된다.
== 타원 곡선을 군으로 만들기 ==
타원 곡선은 사실 그냥 정의되지 않고 사영평면 위에서 정의되는 곡선이다. 왜 사영평면 위에서 정의하냐면 사영평면에서 정의하면 타원 곡선에 적당한 군 구조를 줄 수 있기 때문이다. ([[임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있다|임의의 집합에 군 구조를 줄 수 있긴 하지만]] 이렇게 주면 그다지 의미있는 군이 될 수 없다.)
[math(P,Q\in \Bbb{P}^3_{k})]라는 서로 다른 점을 생각하면 [math(P,Q)]를 잇는 직선과 타원곡선 [math(E(k))]가 만나는 점은 [math(P,Q)]를 빼면 하나로 유일하게 결정되거나 없을 수 있으며 하나로 유일하게 결정되는 점을 [math(R)]이라고 하면 [math( P+Q=-R)]이라고 정의한다. 여기에서 [math(-R)]은 [math(R)]을 [math(x)]축 대칭한 점이라고 생각한다. (그러니까 [math(y)]좌표에 [math(-)]를 붙인다.) [math(-)]를 붙이는 이유는 [math( P+Q+R=0)]을 만들기 위함이고 이것은 기초 타원곡선 이론에서 근과 계수의 관계를 쓸 때 유용하다. 그 점이 없으면 [math( P+Q=(0:0:1))]로 정의한다.
이제 [math(2P=P+P)]는 [math(P)]를 지나는 접선을 생각하고 이 때도 [math(P)] 이외의 [math(E(k))]와 그 접선이 만나는 점은 유일하거나 없을 수 있으며 유일하면 그 점을 [math(R)]이라고 할 때 [math(2P=-R)]이라고 정의하고 없으면 [math( 2P=(0:0:1))]이라고 정의한다. 여기에서 [math(4a^3+27b^2\ne 0)]의 의미가 드러나는데 바로 모든 [math(P)]에 대해서 [math(P)]를 지나는 접선을 만들고 싶어서 그런다. 안 그러면 적당한 [math(P)]에 대해서 그 [math(P)]에서는 접선을 생각할 수 없다.
이렇게 정의하면 [math(E(k))]는 항등원은 [math((0:0:1))]이 되며 [math(P)]의 역원은 [math(-P)]가 되는 아벨군이 된다.
== 유용한 정리 ==
* 모델-베유 정리(Mordell-Weil Theorem) : 임의의 수체 [math(k)] 상의 타원곡선의 유리점의 집합 [math(E(k))]는 [[아벨군#유한 생성 아벨군|유한 생성 아벨군]]이다. 이것은 [math(E(k))]의 [[아벨군#유한 생성 아벨군|꼬임 부분군]]과 [[아벨군#유한 생성 아벨군|계수]]에 대해서 생각할 수 있게 해 준다.
* 나겔-뤼츠 정리(Nagell-Lutz Theorem)
* 메이저의 꼬임 정리(Mazur’s Torsion Theorem): [math(E(Q))]의 [[아벨군#유한 생성 아벨군|꼬임 부분군]]으로 가능한 것은 [[순환군]] [math(\mathbb Z/n\mathbb Z)] ([math(n=1,2,\dots,9,10,12)])와 [math(\mathbb Z/2\mathbb Z\oplus\mathbb Z/2n\mathbb Z)] ([math(n=1,2,3,4)]) 밖에 없다.
* [math(\Bbb{F}_{q})]가 위수 [math(q)]인 finite field일 때 [math(\Bbb{F}_{q})] 위의 타원곡선을 [math(E)]라고 하면 [math( |q+1-|E||\le 2\sqrt{q})]가 성립한다.
== 보기 ==
* [[버츠와 스위너톤-다이어 추측]]
== 영상 ==
[youtube(b-cL5kEUAEU)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
