[[분류:가져온 문서/오메가]]
環 / Ring
덧셈과 곱셈을 갖고 있는 대수적 구조 중 하나이다.
== 정의 ==
대수 구조 [math((R,+,\cdot))]이 환이란 것은 다음을 만족시키는 것을 말한다:
* (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(\forall x \forall y :x+y=y+x)]
* (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z : (x+y)+z=x+(y+z))]
* (A3, 덧셈의 항등원) [math(\exists 0 \forall x :0+x=x+0=x)]
* (A4, 덧셈의 역원) [math(\forall x\exists y: x+y=y+x=0)]
* (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z))]
* (D1, 좌분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :x\cdot(y+z)=x\cdot y + x\cdot z)]
* (D2, 우분배법칙) [math(\forall x \forall y \forall z :(x+y)\cdot z=x\cdot y+x\cdot z)]
A1~A4 에서 [math((R,+))] 가 [[아벨 군]]임을 알 수 있다.
저자에 따라 곱셈의 항등원의 존재 여부가 환의 정의에 따라 달라지기도 한다.
* (M2, 곱셈의 항등원) [math(\exists 1 \forall x :1\cdot x=x\cdot 1=x)]
이때, M2를 만족하는 환을 Ring with identity라고 한다. 환이 M2를 만족하면 [math((R,\cdot))]는 [[모노이드]]임을 알 수 있다.
===가환환===
여기서 다음 곱셈에 대한 교환법칙
>[math(\forall x \forall y : x\cdot y= y\cdot x)]
을 만족하면 이 환을 '''가환환'''(可換環, Commutative ring) 이라고 한다.
=== 유사환 ===
환의 정의에서 곱셈의 항등원을 가지지 않는 대수 구조를 유사환(類似環, pseudoring)이라고 한다. 환과 유사환을 구별하지 않을 때에는 유사환을 환이라고 할 수도 있다.
== 예시 ==
환의 예시로는 다음이 있다.
* 임의의 체
* 정수환 [math(\mathbb{Z})]과 이의 대수적 확대
* 불 대수
* 체 위에서 정의되는 행렬 대수
* 사원수 체계
== 영상 ==
[youtube(2y9P4qeralY)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
