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벡터 공간(Vector Space)은 물리학에서의 벡터의 집합을 일반화한 것으로, 수학 전반에서 중요하게 다뤄지는 구조이다.
== 정의 ==
[[체]] [math(F)]와 집합 [math(V)]에 대해 다음 연산이 정의되었다고 하자.
* 벡터 덧셈: [math(\mathbf x, \mathbf y \in V)]에 대해 [math(\mathbf x+\mathbf y \in V)]
* 스칼라 곱: [math(\mathbf x \in V, a\in F)]에 대해 [math(a\mathbf x \in V)]
이 때 [math(\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z \in V)]와 [math(a, b \in F)]에 대하여 아래의 성질을 만족하면 [math(V)]를 체 [math(F)] 위의 벡터 공간이라고 한다.
|| 덧셈에 대한 결합법칙 || [math((\mathbf x+\mathbf y)+\mathbf z=\mathbf x+(\mathbf y+\mathbf z))] ||
|| 덧셈에 대한 교환법칙 || [math( \mathbf x+\mathbf y=\mathbf y+\mathbf x)] ||
|| 덧셈에 대한 항등원 || [math(\forall \mathbf x \in V,\; \exists \mathbf 0\in V\; s.t. \; \mathbf x+\mathbf 0=\mathbf 0+\mathbf x=\mathbf x)] ||
|| 덧셈에 대한 역원 || [math(\forall \mathbf x \in V,\; \exists (\mathbf {-x})\in V\; s.t. \; \mathbf x+(\mathbf {-x})=(\mathbf {-x})+\mathbf x=\mathbf 0)] ||
|| 스칼라 곱에 대한 결합법칙 || [math((ab)\mathbf x=a(b\mathbf x))] ||
|| 스칼라 곱에 대한 항등원 || [math(1\cdot \mathbf x=\mathbf x)] ||
|| 벡터 덧셈에 대한 분배법칙 || [math(a(\mathbf x+\mathbf y)=a\mathbf x+a\mathbf y)] ||
|| 스칼라 덧셈에 대한 분배법칙 || [math((a+b)\mathbf x=a\mathbf x+b\mathbf x)] ||
위의 성질들을 벡터 공간의 '공리'라고 하고, [math(F)]의 원소들을 '스칼라', [math(V)]의 원소들을 '벡터'라고 부른다.
== 부분공간 ==
벡터공간 [math(V)]의 부분집합 [math(W)]에 대해
1. [math(O\in W)]
2. [math(\forall \mathbf x, \mathbf y \in V, \mathbf x+\mathbf y \in W)]
3. [math(\forall a\in F, \forall \mathbf x \in V, a\mathbf x\in W)]
의 세 조건을 만족할 때 [math(W)]를 [math(V)]의 부분공간이라고 한다. 부분공간은 벡터공간이다.
=== 선형결합과 선형독립 ===
벡터공간 [math(V)]의 원소들 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]에 대해 [math(a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n(a_1, a_2 ,\cdots ,a_n\in F))]꼴의 합을 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]의 선형결합혹은 일차결합(linear combination)이라고 한다.
[math(a_1\mathbf x_1+a_2\mathbf x_2+\cdots+a_n\mathbf x_n=0\Leftrightarrow a_1=a_2=\cdots=a_n=0)]일 때, [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]는 '선형독립혹은 일차독립(linearly independent)이라고 한다. [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]가 일차독립이 아니면 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]는 선형종속혹은 '일차종속(linearly dependent)이라 한다.
== 생성 ==
벡터공간 [math(V)]의 원소들 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]의 선형결합으로 생성되는 [math(V)]의 부분공간을 [math(\{\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n\})]의 생성(span)이라한다. [math(V)]의 부분공간 [math(W)]의 임의의 원소가 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]의 선형결합으로 나타내어지고, [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]의 임의의 선형결합이 [math(W)]에 속할 때, [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]는 [math(W)]를 생성한다고 한다.
== 기저 ==
벡터공간 [math(V)]의 원소들 [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]이 선형독립이고 [math(V)]를 생성할 때, [math(\mathbf x_1, \mathbf x_2,\cdots , \mathbf x_n)]를 [math(V)]의 기저(basis)라고 한다. 임의의 벡터 공간은 기저를 가지고, 기저의 개수는 일정하다. [math(V)]의 기저의 개수를 차원(dimension)이라 하고, [math(\dim V)]로 나타낸다.
== 선형사상 ==
체 [math(F)]에서 정의된 두 벡터공간 [math(V)], [math(W)]에 대해 [math(V)]에서 [math(W)]로의 사상 중 합과 곱을 보존하는 사상을 선형사상(linear mapping)또는 선형변환(linear transformation)이라 한다. [math(V)]에서 [math(W)]로의 모든 선형 사상의 집합 역시 벡터공간을 이루며 이를 [math(\mathcal L (V, W))]로 표시한다. 선형변환은 [math(V)]의 기저들의 변환값에 의해 완전히 결정된다.
== 영상 ==
[youtube(3LCerSxCvUc)]
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160306160318/http://mathwiki.net/%EB%B2%A1%ED%84%B0_%EA%B3%B5%EA%B0%84|링크]])]
