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複素數 / Complex Number, [math(\mathbb{C})]
실수체 [math(\mathbb{R})]에 허수단위 [math(i(=\sqrt{-1}))]을 첨가함으로써 이루어지는 체의 원소로 실수와 허수로 이루어진다. 대수적 수 체계에서 가장 큰 수의 개념이다. 모든 복소수는 [math(a+bi\ (a,b\in \mathbb{R}))]로 나타낼 수 있으며 a를 실수부, b를 허수부라고 한다. 특히 [math(bi)] 를 순허수라고 한다. 물론 [math(a)]는 복소수이면서 실수이다.
== 대수적 구조 ==
복소수의 집합은 [[체]]를 이룬다.
* 덧셈에 대한 항등원 : 0
* 곱셈에 대한 항등원 : 1
* <math>z\ (=a+bi)</math>의 덧셈에 대한 역원 : <math>-z\ (=-a-bi)</math>
* <math>z\ (=a+bi)</math>의 곱셈에 대한 역원 : <math>\frac{1}{z}\ (=\frac{a-bi}{a^2+b^2})</math>
== 켤레복소수 ==
어떤 복소수 [math(\alpha=a+bi)]에 대하여 [math(a-bi)]를 [math(\alpha)]의 켤레복소수라고 하며 [math(\overline{\alpha})] 로 나타낸다.
이러한 연산을 복소켤레라고 한다.
* [math(\alpha+\overline{\alpha} = 2a)]
* [math(\alpha\overline{\alpha} = a^2+b^2)]
* [math(\alpha)]가 실수이면 [math(\overline{\alpha}=\alpha)]
* 또다른 복소수 [math(\beta = c+di)]가 있으면 [math(\overline{\alpha+\beta}=\overline{\alpha}+\overline{\beta})] 이며, 이는 곱셈, 나눗셈에도 동일하게 적용된다.
==[math(x^3=1)] 의 허근==
[[대한민국]]의 고등학교 교과서의 복소수 단원에는 [math(x^3=1)] 또는 [math(x^3=-1)]의 허근의 성질에 대해서 다루는 경우를 흔하게 볼 수 있다. 이 허근을 교과서나 문제집에서는 대부분 [math(\omega)]라고 표시한다. [math(x^3=1)]의 성질은 다음과 같다.
* [math(\omega^3=1)]
* [math(\omega^2+\omega+1=0)]
== 보기 ==
* [[복소평면]]
== 영상 ==
[youtube(tBl2KLPlZjU)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
