[[분류:가져온 문서/오메가]]
複素平面, Complex number plane
[[복소수]]를 기하학적으로 해석할 수 있도록 고안된 좌표평면을 말한다. 직교하는 실수축과 허수축으로 이루어져 있다. 두 복소수는 복소평면 상에서 기하학적으로 벡터처럼 더해진다.
== 표현 ==
복소수 [math(\mathrm{z}=a+bi\ (a, b\in \mathbb{R}))]에 대해 복소평면에서 [math(a)]를 나타내는 축을 [math(\mathrm{Re})](실수부), [math(b)]를 나타내는 축을 [math(\mathrm{Im})](허수부)라고 하며 이 수는 [math(\mathrm{z}(a, b))]로 표현된다. 따라서 이 수의 켤레복소수는 자명하게 [math(\overline{\mathrm{z}}(a, -b))]가 된다. [math(a, b)]는 실수이므로 모든 복소수는 복소평면의 점들과 대응한다.
복소수 [math(z=a+bi)]를 복소평면에 나타냈을 때, 원점에서의 거리 [math(r = \sqrt{a^2+b^2})]를 그 복소수의 절댓값 또는 모듈러스(Modulus)라고 하며 [math(|z|)]로 쓴다. 복소평면에 대응된 이 복소수를 극좌표를 이용하면
* [math(z(|z|\cos\varphi, |z|\sin\varphi))]
로 쓸 수 있으므로
* [math(z=|z|(\cos\varphi+i\sin\varphi))]
이다. 이를 복소수의 극형식(Polar Form)이라고 한다. 오일러의 공식을 이용하면 이는
* [math(z=|z|e^{i\varphi})]
가 된다. 여기서 [math(\mathrm{Re})]축과 원점에서 복소수를 긋는 직선 사이의 각인 [math(\varphi(=\arctan \frac{b}{a}))]를 [math(z)]의 편각이라고 하며 [math(\arg{(z)})]로 쓴다. 특별히 [math((-\pi, \pi])]의 편각은 주편각이라고 하며 [math(\mathrm{Arg}(z))]로 쓴다.
== 성질 ==
* [math(\displaystyle |z|^2 = z \cdot \overline{z})]
* [math(a^2+b^2=(a+bi)(a-bi))]
* [math(\displaystyle \arg(z_1\cdot z_2) = \arg(z_1) + \arg(z_2))]
* [math(\displaystyle z_1 \cdot z_2 = |z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)|z_2|(\cos\varphi_2+i\sin\varphi_2)\\\displaystyle = |z_1||z_2|((\cos\varphi_1 \cos\varphi_2 - \sin\varphi_1 \sin\varphi_2)+i(\sin\varphi_1 \cos\varphi_2 + \cos\varphi_1 \sin\varphi_2))\\\displaystyle =|z_1||z_2|(\cos(\varphi_1 + \varphi_2)+i\sin(\varphi_1 + \varphi_2)))]
* [math(\displaystyle \arg(\frac{z_1}{z_2}) = \arg(z_1) - \arg(z_2))]
* [math(\displaystyle \frac{z_1}{z_2} = \frac{|z_1|(\cos\varphi_1+i\sin\varphi_1)(\cos\varphi_2-i\sin\varphi_2)}{|z_2|}\\\displaystyle =\frac{|z_1|}{|z_2|}((\cos \varphi_1 \cos \varphi_2 + \sin \varphi_1 \sin \varphi_2)+i(\sin \varphi_1 \cos \varphi_2 - \cos \varphi_1 \sin \varphi_2))\\\displaystyle =\frac{|z_1|}{|z_2|}(\cos(\varphi_1 - \varphi_2)+i\sin(\varphi_1 - \varphi_2)))]
* [math(\displaystyle z^n = |z|^n(\cos n\varphi+i\sin n\varphi))] (드 무아브르의 공식)
* [math(z^n=k)]의 해는 복소평면에서 정 [math(n)]각형을 이룬다.
* [math(\displaystyle |z_1+z_2+\cdots+z_n|≤|z_1|+|z_2|+\cdots+|z_n|)] (삼각형 부등식)
== 영상 ==
[youtube(iOs7d_pnZw8)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
