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Smooth number, friable number
특정 수 이하의 소인수만을 가지는 자연수를 말한다.
== 정의 ==
자연수 [math(n)]이 [math(k)]-부드러운 정수(k-smooth number)라는 것은 [math(n)]이 [math(k)] 이하의 소인수만을 가진다는 것이다.
== 분포 ==
딕맨(Karl Dickman)은 1930년의 논문[* Dickman, K. (1930). On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude, Ark. Mat. Astr. fys. 22, 1–14.]에서 다음을 증명했다.
>[math(\psi(x,y))]를 [math(x)] 이하의 자연수 중 [math(y)]-부드러운 정수의 개수라고 정의하자. 이 때 [[딕맨 함수]] [math(\rho)]에 대해 다음이 성립한다.
>[math(\psi(x,y) \sim x\rho(u))]
여기서 [math(u=\log x/\log y)]이다. 조금 더 정확히는, 다음이 성립한다.
[math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))]
=== 증명 ===
증명하고자 하는 것은 임의의 [math(U\geq0)]에 대해 [math(0\leq u\leq U,\ x\geq2)]에서 [math(\psi(x,y)=x\rho(u)+O\left({x \over \log y}\right))]가 균등하게(uniformly) 성립한다는 것이다. 이를 위해 [math(U)]에 대한 귀납법을 사용할 것이다.
[math(0\leq u\leq1)]일 때는 [math(y\geq x)]이므로 [math(\psi(x,y)=[x]=x+O(1))]에서 자명하게 성립한다.
[math(1\leq u\leq 2)]일 때는 [math(x^{1/2}\leq y\leq x)]이므로 [math(x)] 이하의 자연수가 [math(y)]보다 큰 소인수를 두 개 이상 가질 수 없다. 따라서
><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \sum_{n\leq x \atop p|n} 1 \\ &=[x]-\sum_{y<p\leq x} \left[{x\over p}\right] \\ &=x-x\sum_{y<p\leq x} {1\over p}+O(\pi(x)) \\ &= (1-\log u)x+O\left(x\over\log x\right) \end{aligned}</math>
으로 성립한다. ([math(1\leq u\leq2)]에서, [math(\rho(u)=1-\log u)]이다.)
이렇게 초기조건이 증명되었다.
이제 [math(U\in\Bbb Z,\ U\geq2)]에 대해 증명하고자 하는 것이 성립한다고 가정하고, 이것이 [math([U,U+1])]에서도 성립함을 보이자.
[math(P(n))]을 [math(n)]의 최대소인수로 정의하면, 다음이 성립한다.
><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} |\{n\leq x \mid P(n)=p\}|</math>
[math(n)]의 최대소인수가 [math(p)]라는 것은 [math(n/p)]의 최대소인수가 [math(p)] 이하라는 것이므로 [math(|\{n\leq x \mid P(n)=p\}|=\psi(x/p,p))]이다. 따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.
><math>\psi(x,y)=1+\sum_{p\leq y} \psi(x/p,p)</math>
그러므로 [math(y\leq z)]일 때 다음이 성립한다.
><math>\psi(x,y)=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p)</math>
[math(U\leq u\leq U+1)]에 대해 [math(y=x^{1/u},\ z=x^{1/U})]로 두고, [math(\displaystyle u_p={\log x\over \log p}-1)]로 정의하면 [math(\displaystyle p=({x\over p})^{1/u_p})]가 되며 [math(p\geq y)]일 때 [math(u_p\leq u-1\leq U)]이다. 따라서 귀납가설에 의해 다음이 성립한다.
><math>\begin{aligned} \psi(x,y) &=\psi(x,z)-\sum_{y<p\leq z} \psi(x/p,p) \\ &=\left(\rho(U)x + O\left({x\over\log x}\right)\right) - \left(x\sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} + O\left(x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}}\right)\right) \end{aligned}</math>
이제 [math(\displaystyle s(w)=\sum_{p\leq w} {1\over p}=\log\log w+c+r(w))]로 정의하면[* [math(c)]는 오일러 상수 [math(\gamma)]에 대해 [math(\gamma-\sum_p\sum_{k=2}^\infty {1\over kp^k})]로 정의되는 상수이고, [math(r(w))]는 [math(O\left({1\over\log w}\right))]인 함수이다.], 다음을 얻을 수 있다.
><math>\begin{aligned} \sum_{y<p\leq z} {\rho(u_p)\over p} &=\sum_{y<p\leq z} \rho(u_p){1\over p} \\ &=\int_y^z \rho(u_w) ds(w) \\ &=\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w + \int_y^z \rho(u_w) dr(w) \end{aligned}</math>
두 적분을 따로 계산하자.
[math(t={\log x\over\log w})]로 두면 [math(d\log\log w=dw/(w\log w)=-dt/t)]이므로 첫 번째 적분은 다음과 같다.
><math>\int_y^z \rho(u_w) d\log\log w = \int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}</math>
두 번째 적분에 대해서는, 부분적분을 한 다음 [math(r(w)\ll{1\over\log w})]임을 이용하면 다음과 같이 계산할 수 있다.
><math>\begin{aligned} \int_y^z \rho(u_w) dr(w) &=\rho(u_w)r(w)\bigg|_y^z - \int_y^z r(w) d\rho(u_w) \\ &\ll {1\over\log x}\left(1+\int_y^z 1 |d\rho(u_w)|\right) \\ &\ll {1\over\log x} \end{aligned}</math>
또 [math(\log\log z=\log\log y+O(1))]에서 다음이 성립한다.
><math>x\sum_{y<p\leq z} {1\over p\log{x\over p}} \ll {x\over\log x} \sum_{y<p\leq z} {1\over p} \ll {x\over\log x}</math>
이상을 종합하면 [math(U\leq u\leq U+1)]에서 다음을 얻는다.
><math>\psi(x,y)=x\left(\rho(U)-\int_U^u \rho(t-1) {dt\over t}\right) + O\left({x\over\log x}\right)=x\rho(u)+O\left({x\over\log x}\right)</math>
따라서 귀납조건을 보였고, 본 명제가 증명되었다.
== 보기 ==
* [[딕맨 함수]]
== 참고 문헌 ==
* Hugh L. Montgomery, Robert C. Vaughan (2007). ''Multiplicative number theory. I. Classical theory''. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 97. Cambridge University Press. ISBN 0-521-84903-9
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://archive.ph/dAbiB|링크]])]
