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부분군(Subgroup)은 어떤 군의 부분집합으로 동일한 연산을 가진 군을 말한다.
== 정의 ==
군 [math((G,⋅))]에 대하여 다음과 같은 성질을 만족하는 [math(G)]의 부분집합 [math(H(≠∅))]을 [math(G)]의 부분군이라고 한다.
1. [math(e∈H)]
2. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)]
3. [math(∀a∈H a^{−1}∈H)]
이는 다음과 동치이다.
1. [math(∀a,b∈H a⋅b^{−1}∈H)] [One-Step Subgroup Test]
2. [math(∀a,b∈H a^{−1}∈H,a⋅b∈H)] [Two-Step Subgroup Test]
[math(G)]가 유한군인 경우 [math(G)]의 임의의 원소 [math(a)]는 유한한 주기 [math(n)]를 가지므로 [math(a^{−1}=a^{n−1})]이다. 따라서 [math(G)]가 유한군인 경우 [math(H)]가 부분군일 조건은 다음과 동치이다.
1. [math(∀a,b∈H a⋅b∈H)]
[math(G)]가 이미 군이므로 결합법칙을 만족하고, 따라서 결합법칙은 부분군의 조건에서 생략될 수 있다.
[math(G)] 자신과 자명군 [math(\{e\})]는 항상 [math(G)]의 부분군이며, 이 때 부분군으로서의 자명군을 자명부분군(trivial subgroup)이라고 한다. [math(G)]와 자명부분군을 제외한 [math(G)]의 부분군들을 진부분군(proper subgroup)이라고 한다.
== 성질 ==
* [math(G)]가 [[아벨 군]]이면 [math(G)]의 부분군도 아벨 군이다.
* [math(G)]의 부분집합을 생성원으로 갖는 군은 [math(G)]의 부분군이다.
* 군 [math(G)]의 부분군 [math(H)]에 대하여 [math(|G:H|=2)]이면 [math(H)]는 [math(G)]의 정규부분군이다.
[math((a=gh)∈gH (g∈G−H,h∈H))]에서 [math(ah^{−1}=g∈H)]의 모순이 발생하므로 [math(gH∩H=∅)]이다. 그러므로 [math(G=Hg∪H=H∪gH)] 이어서 [math(H⊲G)]이다.
[math((H,⋅))]가 [math((G,⋅))]의 부분군이면 다음이 성립한다:
* [math(HH=H)]이고[math(H^{−1}=H)]이다.
임의의 [math(a∈H)]에 대해 [math(a⋅e∈HH)]이고 [math((a^{−1})^{−1}∈H^{−1})] 이기 때문에 성립한다. 이는 [math(H)]가 [math(G)]의 부분군일 조건과 동치이기도 하다.
* [math(I)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(H∩I)]도 [math(G)]의 부분군이다.
[math(a⋅b∈H)]이고 [math(a⋅b∈I(a,b∈H∩I))] 이므로 [math(a⋅b∈H∩I)] 이고 같은 방법으로 [math(a^{−1}∈H∩I)] 이므로 성립한다.
* [math(I)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(HI)]가 [math(G)]의 부분군이면 [math(HI=IH)]이다.
[math((HI)^{−1}=IH)] 이므로 성립한다. 이 명제의 역도 [math(HI=IH)]이면 [math((HI)(HI)^{−1}=H(IH)=(HH)I=HI)]이므로 성립한다.
* [math(I)]와 [math(J)]가 [math(G)]의 부분군일 때, [math(HI=IH)]이고 [math(I⊆J)]이면 [math(HI∩J=(H∩J)I)] 이다.
[math((H∩J)I⊆HI)]이므로 [math((H∩J)I⊆J)]이고, [math((a=h⋅i)∈HI∩J (h∈H,i∈I))]에서 [math(h=a⋅i^{−1}∈H∩J)]이므로 성립한다.
== 종류 ==
* 군 [math(G)]의 부분군 [math(N)]이 [math(G)]의 임의의 원소 [math(g)]에 대해 [math(g⋅N=N⋅g)]이면 [math(N)]은 [math(G)]의 정규부분군이다. 여기서 [math(G)]의 원소 [math(g)]와 부분군 [math(N)]의 곱은 잉여류를 말한다.
* 군 [math(G)]의 부분군 [math(N)]이 [math(G)]의 임의의 자기동형사상 [math(α)]에 대해서 [math(α(N)=N)]이면 [math(N)]은 [math(G)]의 특성부분군이다.
== 영상 ==
[youtube(ozoL2JGKNB4)]
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315203846/http://mathwiki.net/%EB%B6%80%EB%B6%84%EA%B5%B0|링크]])]
