[[분류:가져온 문서/오메가]]
[[외부:https://pbs.twimg.com/media/Fzp2w2pXsAMpbAv.jpg:large|width=400]]
Prime number theorem
><math>\lim_{x\to \infty}\frac{\pi(x)\ln{x}}{x}=1</math>
이 된다는 정리다. 여기서 [math(\pi(x))]는 [[소수 계량 함수]]이다. 이 정리는 소수들의 분포를 잘 알려준다.
== 오차항의 표현 ==
[math(x)]가 무한대로 가면 다음이 성립한다.
* <math>\pi(x)=\frac{x}{\ln{x}}+O\left(\frac{x}{(\ln{x})^2}\right)</math>
하지만
* <math>\left|\pi(x)-\frac{x}{\ln{x}}\right|\gg \frac{x}{(\ln{x})^2}</math>
이기도 해서 별로 좋지 못하다 할 수 있다. 하지만
* <math>\Lambda(n):=\begin{cases}\ln{p} & \text{if}\;n=p^k \text{ for some positive integer}\;k \\ 0 & \text{otherwise}\end{cases}</math>
라고 정의하고
* <math>\psi(x):=\sum_{n\le x}\Lambda(n)</math>
이라고 한다면 임의의 [math(c>0)]에 대해서
* <math>\psi(x)=x+O\left(xe^{-c\sqrt{\ln{x}}}\right)</math>
이다. 나아가 임의의 [math(\varepsilon>0)]에 대해서
* <math>\psi(x)=x+O_{\varepsilon}(x^{\frac{1}{2}+\epsilon})</math>
이라는 것은 [[리만 가설]]과 동치가 된다.
== 동치인 표현들 ==
=== 약간의 식 변형 ===
* <math>\lim_{x \to \infty}\frac{\pi(x)\log \pi(x)}{x}=1</math>
* <math>\lim_{n \to \infty}\frac{p_n}{n \log n}=1</math>
===체비셰프 함수===
* <math>\lim_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x}=1</math>
* <math>\lim_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x}=1</math>
===[[뫼비우스 뮤 함수]]===
* <math>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\mu(n)}{n}=0</math>
===메르텐스 함수===
* <math>\lim_{x \to \infty} \frac{M(x)}{x}=0</math>
== 참고 문헌 ==
* Apostol, Tom M. (1976), ''Introduction to analytic number theory'', Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3.
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
