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數列 / sequence
자연수 집합을 정의역으로 하는 함수[* 더 넓게 정의하면 정의역을 가산 전순서 집합으로 하는 함수로 정의할 수 있다. 자연수 집합은 가산 전순서 집합의 일종이다.][* 자연수 집합에 [[0]]을 포함할 수도 있다. 제 0항을 정의하면 일반항이 간단해지기도 한다.] [math(\mathbf{a}:\mathbb N \to \mathbb S)]이다. 공역은 대체로 실수 또는 [[복소수]]의 집합이나, 함수의 집합이나 문자, 행렬의 집합이어도 상관없다. 각각의 함숫값을 항(term, member, element)이라고 하며, 정의역이 유한한 수열을 유한수열, 무한한 수열을 무한수열이라 한다.
수열 [math(\mathbf a)]는 집합과 비슷한 방법으로, 괄호 속에 항을 나열하여 표기한다. 수열 [math(\mathbf a)]의 [math(i)]번째 항을 [math(a_i:= \mathbf a(i))]라 하면 수열 [math(\mathbf a)]는
[math(\displaystyle (a_1, a_2, \cdots, a_n),\quad(a_n:n=1\text{, }2\text{, }\cdots),\quad(a_n)_{n=1}^\infty,\quad(a_n)_{n\in\mathbb N},\quad(a_n))]
등으로 나타낸다.[* 중괄호로 표기하기도 한다.] 이때 제 [math(n)]-항을 일반항(general term)이라 한다.
== 수열의 귀납적 정의 ==
수열은 일반항을 이용하여 정의할 수도 있지만, 점화식을 이용하여 귀납적으로 정의할 수도 있다. 다음은 점화식으로 정의한 수열의 일반항의 예이다.
* 등차수열 : [math(\displaystyle a_n=a_{n-1}+d \quad \longrightarrow \quad a_n=a_0+nd)]
* 등비수열 : [math(\displaystyle a_n=ra_{n-1}\quad \longrightarrow \quad a_n=r^na_0)]
* 계차수열 : [math(\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+f(n) \quad \longrightarrow \quad a_n=a_0+\sum_{k=0}^{n-1}f(k))]
* 피보나치 수열 : [math(\displaystyle \displaystyle F_n=F_{n-1}+F_{n-2} \ (n\geq 2)\quad \longrightarrow \quad F_n=\frac{\varphi^n-(-\varphi)^{-n}}{\sqrt 5},\quad\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}\approx 1.61803\cdots)]
* [math(\displaystyle a_{n+1}=a_nf(n) \quad \longrightarrow \quad a_n=a_0\prod_{k=0}^{n-1}f(k))]
== [[수열의 극한|수열의 수렴과 발산]] ==
일반항 [math(a_n)]이 [math(n\to\infty)]에서 극한값을 가지면 이 수열은 수렴한다고 하고, 극한값을 수열 [math((a_n))]의 극한이라고 한다. 엡실론-델타 논법을 이용하여 나타내면 다음과 같다.
[math(\lim_{n\to\infty}a_n=l \Longleftrightarrow \forall \epsilon <0\text{, }\exists N\in\mathbb N \text{ s.t. }n>N\Rightarrow|a_n-l|<\epsilon.)]
수렴하지 않으면 발산한다고 하고, 발산하는 경우는 크게 두 가지로 나눌 수 있다.
* [math(\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_n = \pm\infty)]
* 수열 [math((a_n))]이 진동한다. 즉 [math(n)]이 커질수록 어떤 값에 가까워지면서 [math(\pm\infty)] 중 어느 하나로만 가까워지지는 않는다.
== 영상 ==
[youtube(jp-F6PzjfkA)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
