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역원(逆元, Inverse element)은 집합의 원소를 이항연산한 결과가 [[항등원]]이 되는 집합의 원소이다. 역원은 집합의 각 원소에 대해 유일하게 존재해야 한다.
== 정의 ==
[math(S∗S→S)] 인 이항연산 [math((S,∗))] 에 대하여 [math(S)]의 항등원이 존재하고 그것을 [math(e)]라고 하면, 임의의 한 [math(a∈S)]에 대해
[math(b_L)][* 이를 좌역원이라고 한다.][math(∗a=a∗b_R)][* 이를 우역원이라고 한다.][math(=e)]
를 만족하는 유일한 [math(b∈S)]를 [math(S)]에서의 [math(∗)]에 대한 [math(a)]의 역원이라고 한다.
== 예시 ==
* [math(\mathbb{C})]의 [math(+)]에 대한 [math(a∈\mathbb{C})]의 역원은 [math(−a)]이고, [math(×)]에 대한 역원은 [math(\frac{1}{a}=a^{-1})]이다.
* 함수의 합성함수에 대한 역원은 역함수이다.
* 행렬의 곱셈에 대한 역원은 역행렬이다.
== 영상 ==
[youtube(QH86vO3KzwA)]
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160316090941/http://mathwiki.net/%EC%97%AD%EC%9B%90|링크]])]
