[[분류:가져온 문서/오메가]]
자유군(Free gruop)은 [[군]]의 일종이다.
== 정의 ==
=== 자유 모노이드 ===
임의의 집합 [math(x)]에 대해서 그 원소를 늘어놓은 문자열을 단어(word)라고 한다. 이때, 이 단어들에 대한 연산 [math(\star)]를 이 두 단어를 붙혀쓰는 연산으로 정의하자.
이 때, 여기서 결합법칙이 성립하며, 닫혀 있고, 빈 문자열이 이 연산의 항등원이므로 [math((F_X, \star))]는 모노이드가 된다.
=== 자유군 ===
임의의 집합 [math(X=\{ a, b, c, ... \})]에 대해서 [math(X'=\{ a, a^{-1}, b, b^{-1} c, c^{-1} ... \}")]와 같이 정의하자. 여기서도 마찬가지 방식으로 단어를 생각할 수 있을 것이고, 동치관계 [math(\sim)]에 대해서 [math(aa^{-1}\sim1)](1은 항등원)이라 생각하면 이 단어의 집합을 임의의 원소에 대해서 그 동치류를 모두 모은 집합에서 그 동치류 간에 적절한 연산이 존재하여 이 집합은 군이 된다. 이렇게 정의한 자유군을 일반적으로 [math(FX)] 혹은 [math(F_X)]라고 쓴다.
== 예시 ==
* [math(X = \emptyset)]이라면 [math(F_X)]는 자명군이 된다.
* [math(|X|=1)]이라면 [math(F_X)]의 자유군은 정수군과 동형이 된다.
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315204320/http://mathwiki.net/%EC%9E%90%EC%9C%A0%EA%B5%B0|링크]])]
