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수학에서 절댓값(絶對─, Absolute value)이란 어떤 수의 크기를 나타내는 값을 말한다
==[[실수]]에서의 절댓값==
임의의 실수 a에 대해서 a의 절댓값 |a|는 실수의 부호가 제거된 것과 같다. 따라서
><math>|a| := \begin{cases} a, & \text{if } a \ge 0 \\ -a, & \text{if } a < 0. \end{cases} </math>
이고 항상 음이 아닌 실수이다. 그러므로 [math(|x|=a)] 또는 [math(|-x|=a \ (a>0))]의 해는 [math(\pm{a})]이고, [math(|x|=0)]의 해는 [math(0)]뿐이다.
=== 성질 ===
* [math(|a+b|≤|a|+|b|)]
* [math(|a-b|≥|a|-|b|)]
* [math(|ab|=|a||b|)]
=== 절댓값을 포함한 부등식의 해 ===
* [math(|a|≤b)]이면 [math(-b≤a≤b)]
* [math(|a|≥b)]이면 [math(a≤-b)] 또는 [math(b≤a)]
단, [math(b≥0)]인 상수이다.
=== 그래프 ===
절댓값이 포함된 식의 그래프를 그릴 때에는 다음 네 가지로 분류하여 그리는 것이 보편적이다.
====[math(y=f(|x|))]인 경우====
함수식에 [math(|x|≥0)] 가 대입되므로 [math(x>0)]부분과 y축 대칭으로 [math(x<0)]부분이 그려진다. 즉 [math(f(|a|)=f(|-a|))]여서 y축에 대칭이므로 이는 우함수가 된다.
====[math(y=|f(x)|)]인 경우====
y가 음수가 될 수 없으므로 y=f(x)에서 y가 음수가 되는 부분은 절댓값의 크기만큼 양수로 올려 그려진다. 이는 함수라고 말할 수 있다.
함수식 f(x)가 최고차항의 계수가 양수인 단항식인 경우 [math(y=f(|x|))]와 [math(y=|f(x)|)]는 같은 함수가 된다.
====[math(|y|=f(x))]인 경우====
y가 음수가 되어도 대응되는 x는 y가 양수일 때와 동일한 값을 가지므로 [math(y>0)]부분과 x축 대칭으로 그려진다. [math(|x|=a (a>0))]의 해가 [math(\pm{a})]로 2개가 나오는 것과 같은 원리이다. 이는 정의역의 한 원소가 치역의 원소 여러개와 대응되므로 함수가 아니다.
====[math(|y|=f(|x|))]인 경우====
y또는 x에 음수를 대입해도 y와 x가 모두 양수일 때와 같은 식이 된다. 즉 제 1사분면의 그래프를 x축, y축, 원점대칭을 하여 그려진다. 이는 원점에 대칭이나 함수가 아니므로 기함수도 아니다.
== [[복소수]]에서의 절댓값 ==
실수에서의 절댓값은 수직선의 원점인 0에서 실수까지의 거리를 나타낸다. 마찬가지로 [[복소수]]에서 절댓값은 [[복소평면]]에서의 원점인 <math>0+0i=0</math>에서 복소수까지의 직선거리로 쓸 수 있다. 그러므로 임의의 [math(\alpha=a+bi(a, b \in \mathbb{R}))]에 대하여
><math>|\alpha|:=\sqrt{a^2+b^2}</math>
이다. 복소수의 절댓값 또한
* [math(|a+b|\le|a|+|b|)]
* [math(|ab|=|a||b|)]
를 만족시키며 특히 [math(|z|^2=z\overline{z})]가 성립한다. 이 때 [math(\overline{z})]는 [math(z)]의 [[복소수|복소켤레]]이다.
== 일반화 ==
절댓값은 p진수 혹은 사원수 등의 몇몇 수 체계 위에서도 존재하며, 노름 벡터 공간의 [[놈|노름]]으로 일반화된다.
== 영상 ==
[youtube(6MXUb8RU)]
[Include(틀:가져옴2,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]])]
