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체(體, Field)는 사칙연산을 시행할 수 있는 대수적 구조로 가환 나눗셈환이다.
== 정의 ==
체 [math((R,+,⋅))]는 환이다. 따라서 다음이 성립한다.
* (A1, 덧셈에 대한 교환성) [math(∀x∀y:x+y=y+x)]
* (A2, 덧셈에 대한 결합법칙) [math(∀x∀y:∀z (x+y)+z=x+(y+z))]
* (A3, 덧셈의 항등원) [math(∃0∀x:0+x=x+0=x)]
* (A4, 덧셈의 역원) [math(∀x∃y:x+y=y+x=0)]
* (M1, 곱셈에 대한 결합법칙) [math(∀x∀y∀z:(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z))]
* (M2, 곱셈의 항등원) [math(∃1∀x:1⋅x=x⋅1=x)]
* (D1, 좌분배법칙) [math(∀x∀y∀z:x⋅(y+z)=x⋅y+x⋅z)]
* (D2, 우분배법칙) [math(∀x∀y∀z:(x+y)⋅z=x⋅y+x⋅z)]
[math(R)]이 체란 것은 다음 체의 공리를 추가로 만족한다는 것을 말한다:
* (M2, 곱셈의 항등원) [math(1≠0)]
* (M3, 곱셈에 대한 교환성) [math(∀x∀y:x⋅y=y⋅x)]
* (M4, 곱셈의 역원) [math(∀x≠0 ∃ \frac{1}{x} : x\cdot \frac{1}{x}=\frac{1}{x} \cdot x=1)]
== 사체 ==
체의 정의에서 곱셈에 대한 교환성이 성립하지 않아도 되는 대수적 구조를 사체(斜體, Skew field)라고 한다.
사체를 체라고 할 수도 있는데, 그런 경우에는 곱셈에 대한 교환성이 성립하는 체를 가환체(可換體, Commutative field)라고 한다.
== 예시 ==
* 유리수, 실수, 복소수 체계
== 영상 ==
[youtube(gxxhxzmEG_o)]
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160321123847/http://mathwiki.net/%EC%B2%B4|링크]])]
