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폐집합(Closed set), 혹은 닫힌 집합은 직관적으로 그 집합 내의 점으로 '근사'시킬 수 있는 모든 점을 포함하는 집합, 혹은 그 집합의 경계를 포함하고 있는 집합을 가리킨다.
== 정의 ==
위상수학에서 폐집합은 다음과 같이 정의되며, 이는 모두 동치이다.
* [math(A)]가 폐집합이라는 것은 그 여집합이 [[개집합]]인 것이다.
* [math(A)]가 폐집합이라는 것은 [math(A)]가 그 폐포 [math(\bar A)]와 같은 것이다.
* [math(A)]가 폐집합이라는 것은 [math(A)]가 그 집적점들의 집합을 포함하는 것이다.
== 성질 ==
위상이 주어진 위상공간 [math(X)]에 대해 다음이 성립한다.
* [math(\emptyset, X)]는 닫혀있다.
* [math(U,V)]가 닫혀있으면 [math(U\cup V)]는 닫혀있다. 즉, 유한한 닫힌 집합의 모임의 합집합은 닫혀있다.
* 임의의 첨수 [math(\alpha\in I)]에 대해 [math(U_\alpha)]가 닫혀있으면 [math(\bigcap_{\alpha\in I} U_\alpha)]는 닫혀있다.
이 세 성질을 만족하는 집합을 닫힌 집합으로 정의하고, 그 여집합을 열린 집합으로, 열린 집합의 모임을 위상으로 정의할 수도 있지만, 특별한 이점이 없기 때문에 일반적으로는 열린 집합을 이용하여 위상을 정의한다.
== 역할 ==
폐집합의 개념은 수학의 여러 분야에서 중요한 역할을 한다. 해석학에서는 함수의 연속성을 정의하거나 컴팩트 집합을 정의하는 데 사용된다. 기하학에서는 다양한 도형의 성질을 연구하는 데 활용된다. 또한, 함수해석학, 미분기하학 등 고급 수학 분야에서도 기본적인 개념으로 등장한다.
== 영상 ==
[youtube(gN4MqFUIZGg)]
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