[[분류:가져온 문서/오메가]]
수학에서 핵(Kernel)은 사상에 의해 항등원으로 보내지는 정의역의 원소들의 집합이다.
== 정의 ==
=== 군 동형사상 ===
[[군]] [math(G,G')]와 군 준동형사상 [math(f:G \to G')]에 대하여 [math(f)]의 핵 [math(\operatorname{ker} f)]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\operatorname{ker}f:=\{g \in G \mid f(g) = e_{G'}\})]
=== 환 동형사상 ===
환 [math(R,R')]와 환 준동형사상 [math(f:R \to R')]에 대하여 [math(f)]의 핵 [math(\operatorname{ker} f)]는 다음과 같이 정의된다.
[math(\operatorname{ker}f:=\{g \in R \mid f(g) = 0_{R'}\})]
== 성질 ==
=== 준동형사상의 단사성 ===
[math(|\operatorname{ker} f|=1)]이면 [math(f)]는 단사이다.
==== 증명 ====
[math(f)]가 군 준동형사상인 경우에 증명을 하자. 환 준동형사상인 경우도 비슷하다.
[math(e_G \in \operatorname{ker} f)]이므로 [math(\operatorname{ker} f=\{e_G\})]이다. 이 때 [math(a,b \in G)]에 대하여 [math(f(a)=f(b))]이면 [math(f(ab^{-1})=f(a)f(b)^{-1}=e_{G'})]이므로 [math(ab^{-1} \in \operatorname{ker} f)], 즉 [math(ab^{-1}=e_G)]이다. 따라서 [math(a=b)]이고, [math(f)]는 단사성을 갖는다.
여기서 [math(|\operatorname{ker} f|=1)]이면 [math(g:G \to f(G))]는 전단사임을 알 수 있다.
=== 부분군 ===
군 준동형사상 [math(f:G \to G')]에 대하여 [math(\operatorname{ker} f)]은 [math(G)]의 부분군이다.
==== 증명 ====
[math(\operatorname{ker} f=H)]라 하자.
[math(f(e_G)=e_{G'})]에서 [math(e_G \in H)]이다. 또한 [math(a,b \in H)]에 대하여 [math(f(a^{-1})=f(a^{-1})=e_{G'},\ f(ab)=f(a)f(b)=e_{G'})]이므로 [math(a^{-1},\ ab \in H)]이다. 따라서 [math(H)]는 [math(G)]의 부분군이다.
=== 정규부분군 ===
군 준동형사상 [math(f:G \to G')]에 대하여 [math(\operatorname{ker} f)]은 [math(G)]의 [[정규부분군]]이다.
==== 증명 ====
[math(\operatorname{ker} f=H)]라 하자.
[math(\forall x \in G,\ a \in H)]에 대하여 [math(f(xax^{-1})=f(x)f(a)f(x^{-1})=f(x)e_Bf(x)^{-1}=e_B)]이므로 [math(xax^{-1} \in H)]이다. 즉 [math(xHx^{-1} \subset H)]이고, 여기서 [math(H \subset xHx^{-1})]이므로 [math(xHx^{-1}=H)]이다. 따라서 [math(H)]는 [math(G)]의 정규부분군이다.
[Include(틀:가져옴,O=오메가, C=[[https://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/deed.ko|CC BY-NC-SA 3.0]], L=[[https://web.archive.org/web/20160315204514/http://mathwiki.net/%ED%95%B5_(%EC%88%98%ED%95%99)|링크]])]
