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거듭제곱

최근 수정 시각 : 2023-04-21 17:57:46 | 조회수 : 98
Exponentiation

거듭제곱은 이항연산의 하나로 어떤 수를 여러 번 곱하는 연산을 말한다.

목차

1. 정의
2. 확장
2.1. 밑의 범위
3. 지수법칙
4. 지수함수
5. 영상

1. 정의 ✎ ⊖

자연수 a,ba, b에 대해 aa를 bb번 곱하는 거듭제곱 a×a×⋯×a×aa \times a \times \cdots \times a \times a 를 다음과 같이 쓴다.

aba^b

이때 aa를 밑, bb를 지수라 한다.

2. 확장 ✎ ⊖

실수 aa에 대해 다음과 같이 거듭제곱에서의 지수의 범위를 확장할 수 있다.
  • a≠0a\neq 0 에 대해 a0=1a^0=1 이다. (음이 아닌 정수)
  • a≠0a\neq 0 와 정수 nn 에 대해 a−n=1ana^{-n}=\frac{1}{a^n} 이다. (정수)
  • a>0a>0 와 정수 m,n (n≠0)m, n\ (n\neq 0)에 대해 amn=amna^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m} 이다. (유리수)
  • a>0a>0 와 실수 xx 에 대해 ax=exln⁡aa^{x}=e^{x\ln a} 이다. (실수, 오일러의 공식)

2.1. 밑의 범위 ✎ ⊖

  • 000^0은 a0=1a^0=1, 0a=00^a=0이므로 정의하지 않는다. 다만, lim⁡x→0xx=1\lim_{x \to 0} x^x=1 은 성립한다.
  • 밑이 음수인 경우 −1=−112=−124=−124=14=1\sqrt{-1}=-1^{\frac{1}{2}}=-1^{\frac{2}{4}}=\sqrt[4]{-1^2}=\sqrt[4]{1}=1 과 같은 모순이 발생하므로 유리수 지수에 대해 정의하지 않는다.

3. 지수법칙 ✎ ⊖

양수 a,ba, b와 실수 x,yx, y에 대해 다음이 성립한다.
  • axay=ax+ya^x a^y = a^{x+y}
  • ax÷ay=ax−ya^x \div a^y = a^{x-y}
  • (ax)y=axy(a^x)^y=a^{xy}
  • (ab)x=axbx(ab)^x=a^x b^x

4. 지수함수 ✎ ⊖

y=2x (a>1)y=2^x\ (a>1)
y=(12)x(=2−x) (0<a<1)y=(\frac{1}{2})^x (=2^{-x})\ (0<a<1)

y=a(x−b)+cy=a^{(x-b)}+c (a≠1,a>0a\neq 1, a>0) 와 같이 거듭제곱의 지수를 변수로 하는 함수를 지수함수라고 한다. 지수함수는 다음과 같은 특징을 가진다.
  • 일대일함수이다.
  • R→(0,∞)\mathbb{R}\to (0,\infty)인 연속함수이다.
  • 초월함수이다.

지수함수 중에서 y=axy=a^x (a≠1,a>0a\neq 1, a>0) 는 다음과 같은 특징을 가진다.
  • y=log⁡axy=\log_a x와 y=xy=x 대칭이다. 그러므로 지수함수는 로그함수의 역함수 관계이다.
  • xx축을 점근선으로 갖는다.
  • 0<a<10<a<1이면 감소함수, a>1a>1이면 증가함수이다.
  • 점 (0,1)(0, 1) 을 지난다.
  • 도함수는 axln⁡aa^x \ln a 이다.

5. 영상 ✎ ⊖



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