(+)분류 : 가져온 문서/오메가
Exponentiation
거듭제곱은 이항연산의 하나로 어떤 수를 여러 번 곱하는 연산을 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
자연수 a, b에 대해 a를 b번 곱하는 거듭제곱 a \\times a \\times \\cdots \\times a \\times a 를 다음과 같이 쓴다.
a^b
이때 a를 밑, b를 지수라 한다.
a^b
이때 a를 밑, b를 지수라 한다.
2. 확장 ✎ ⊖
실수 a에 대해 다음과 같이 거듭제곱에서의 지수의 범위를 확장할 수 있다.
- a\\neq 0 에 대해 a^0=1 이다. (음이 아닌 정수)
- a\\neq 0 와 정수 n 에 대해 a^{-n}=\\frac{1}{a^n} 이다. (정수)
- a>0 와 정수 m, n\\ (n\\neq 0)에 대해 a^{\\frac{m}{n}}=\\sqrt[n]{a^m} 이다. (유리수)
- a>0 와 실수 x 에 대해 a^{x}=e^{x\\ln a} 이다. (실수, 오일러의 공식)
2.1. 밑의 범위 ✎ ⊖
- 0^0은 a^0=1, 0^a=0이므로 정의하지 않는다. 다만, \\lim_{x \\to 0} x^x=1 은 성립한다.
- 밑이 음수인 경우 \\sqrt{-1}=-1^{\\frac{1}{2}}=-1^{\\frac{2}{4}}=\\sqrt[4]{-1^2}=\\sqrt[4]{1}=1 과 같은 모순이 발생하므로 유리수 지수에 대해 정의하지 않는다.
3. 지수법칙 ✎ ⊖
양수 a, b와 실수 x, y에 대해 다음이 성립한다.
- a^x a^y = a^{x+y}
- a^x \\div a^y = a^{x-y}
- (a^x)^y=a^{xy}
- (ab)^x=a^x b^x
4. 지수함수 ✎ ⊖
y=2^x\\ (a>1)
y=(\\frac{1}{2})^x (=2^{-x})\\ (0<a<1)
y=a^{(x-b)}+c (a\\neq 1, a>0) 와 같이 거듭제곱의 지수를 변수로 하는 함수를 지수함수라고 한다. 지수함수는 다음과 같은 특징을 가진다.
지수함수 중에서 y=a^x (a\\neq 1, a>0) 는 다음과 같은 특징을 가진다.
y=(\\frac{1}{2})^x (=2^{-x})\\ (0<a<1)
y=a^{(x-b)}+c (a\\neq 1, a>0) 와 같이 거듭제곱의 지수를 변수로 하는 함수를 지수함수라고 한다. 지수함수는 다음과 같은 특징을 가진다.
- 일대일함수이다.
- \\mathbb{R}\\to (0,\\infty)인 연속함수이다.
- 초월함수이다.
지수함수 중에서 y=a^x (a\\neq 1, a>0) 는 다음과 같은 특징을 가진다.
- y=\\log_a x와 y=x 대칭이다. 그러므로 지수함수는 로그함수의 역함수 관계이다.
- x축을 점근선으로 갖는다.
- 0<a<1이면 감소함수, a>1이면 증가함수이다.
- 점 (0, 1) 을 지난다.
- 도함수는 a^x \\ln a 이다.
