거리공간

Metric space

거리라는 함수가 주어져서 각 원소간의 가깝고 멂을 따질 수 있는 공간을 말한다.

목차

1. 정의
2. 예시
3. 위상공간으로서의 거리공간
4. 영상

1. 정의 _{✎ ⊖}

집합 M과 함수(거리함수라고 한다) d:M\\times M\\to \\mathbb{R}이 주어졌을 때 (M,d)가 거리공간이란 것은 임의의 x,y,z\\in M에 대해 다음이 성립하는 것을 말한다.

1. d(x,y)\\ge 0
2. d(x,y)= 0\\iff x=y
3. d(x,y)=d(y,x) (대칭성)
4. d(x,y)\\le d(x,z)+d(z,y) (삼각부등식)

2. 예시 _{✎ ⊖}

\\mathbb{C}은 d(x,\\ y)=|x-y|를 거리함수로 갖는 거리공간이다.

3. 위상공간으로서의 거리공간 _{✎ ⊖}

거리공간에는 열린 공 B(a,r)들의 집합을 기저로 하는 자연스런 위상이 주어진다. 이를 보통 거리공간의 위상이라 부른다.

거리공간 위상을 갖는 거리공간은 완전 정규공간이면서 제1 가산공리를 만족시킨다.

4. 영상 _{✎ ⊖}

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1. 정의 ✎ ⊖

2. 예시 ✎ ⊖

3. 위상공간으로서의 거리공간 ✎ ⊖

4. 영상 ✎ ⊖

1. 정의 _{✎ ⊖}

2. 예시 _{✎ ⊖}

3. 위상공간으로서의 거리공간 _{✎ ⊖}

4. 영상 _{✎ ⊖}