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수론에서 곱셈적 함수(Multiplicative function) 혹은 적법적 함수는 서로소인 자연수 m,n에 대하여 f(mn)=f(m)f(n)이며 0과 동치가 아닌(1) 수론적 함수 f를 말한다.
1. 정의 ✎ ⊖
f \\not\\equiv 0인 수론적 함수 f에 대하여 m,n \\in \\Bbb N,\\ (m,n)=1일 때 f(mn)=f(m)f(n)이 성립하면 f를 곱셈적이라고 한다.
1.1. 완전 곱셈적 ✎ ⊖
임의의 자연수 m,n에 대하여 f(mn)=f(m)f(n)이 성립할 경우 f를 완전 곱셈적(completely multiplicative, totally multiplicative) 혹은 완전 적법적이라고 한다.
2. 성질 ✎ ⊖
- f가 곱셈적이면 f^{-1}도 곱셈적이다.
- f,g가 곱셈적이면 fg,f/g도 곱셈적이다.
- f,g가 곱셈적이면 f*g도 곱셈적이다.
- f(1)=1
- f(1)=1일 때,
- f가 곱셈적임은 임의의 소수 p_i와 자연수 a_i에 대하여 f(p_1^{a_1} \\cdots p_n^{a_n})=f(p_1^{a_1}) \\cdots f(p_n^{a_n})이 성립하는 것과 동치이다.
- f가 곱셈적일 경우, f가 완전 곱셈적임은 임의의 소수 p와 자연수 a에 대하여 f(p^a)=f(p)^a가 성립하는 것과 동치이다.
- f가 곱셈적일 때, f가 완전 곱셈적임은 f^{-1}=\\mu f와 동치이다.
- f가 곱셈적이면 F(n)=\\sum_{d \\mid n}f(d)도 곱셈적이다.
3. 예시 ✎ ⊖
3.1. 곱셈적 함수의 목록 ✎ ⊖
- 오일러 파이 함수 \\phi(n)
- 뫼비우스 뮤 함수 \\mu(n)
- 약수 함수
- 약수 개수 함수 \\tau(n)
- 약수 합 함수 \\sigma(n)
- 그 외 잔뜩
3.2. 완전 곱셈적 함수의 목록 ✎ ⊖
- 항등원 함수 I(n)=[\\frac{1}{n}]
- 리우빌 함수 \\lambda(n)
4. 영상 ✎ ⊖
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(1) 0과 동치일 경우 조건이 자명하게 성립하기 때문에 제외하는 것이다. 책에 따라 굳이 제외하지 않는 경우도 있다.
