달랑베르의 원리

d'Alembert's principle

프랑스의 물리학자이자 수학자인 달랑베르가 발견한 고전역학에서의 원리로, 고전적인 물체의 운동을 기술하는 기초적인 원리이다.

목차

1. 달랑베르의 원리
2. 달랑베르의 원리의 수식화
3. 영상

1. 달랑베르의 원리 _{✎ ⊖}

달랑베르의 원리는 구속력 혹은 반작용 힘의 가상 변위에 대한 일의 양은 0이라는 것을 말한다. 수식으로 나타내면 다음과 같다.

\delta W = \sum_{i=1}^{3N} (F_i -\dot{p_i}) \delta x_i = 0

n

개의 입자로 이루어진 계의 운동법칙을 뉴턴의 운동방정식으로 나타내면 다음과 같다.

\dot{\mathbf{p}_n} = \mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n

여기서

\mathbf{C}_n

은

n

번째 입자에 작용하는 구속력이다. 여기에 가상변위

\delta x_i

로 내적을 취해주면

\sum_{n=1}^N \dot{\mathbf{p}_n} \cdot \delta \mathbf{x}_n = \sum_{n=1}^N ( \mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n ) \cdot \delta \mathbf{x}_n

이 되고, 정리를 해주면 다음과 같다.

\sum_{n=1}^N (\mathbf{F}_n + \mathbf{C}_n - \dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

달랑베르원리는 구속력이 한 일이 0임을 말한다.

\delta W = \sum_{n=1}^N \mathbf{C}_n \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

이를 적용하면 다음과 같은 수식화된 달랑베르의 원리를 얻을 수 있다.

\delta W = \sum_{n=1}^{N} (\mathbf{F}_n -\dot{\mathbf{p}_n}) \cdot \delta \mathbf{x}_n = 0

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