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L'Hôpital's rule, L'Hospital's rule
미적분학에서 함수의 극한을 구할 때 사용되는 정리 중 하나이다.
1. 진술 ✎ ⊖
실함수 f,g가 (a,b)\\ (-\\infty \\leq a < b \\leq +\\infty)에서 미분 가능하고 \\forall x \\in (a,b)\\ g'(x) \\neq 0이며 \\lim_{x \\to a}\\frac{f'(x)}{g'(x)}=A라 하자.
\\lim_{x \\to a}f(x)=\\lim_{x \\to a}g(x)=0이거나 \\lim_{x \\to a}g(x)=+\\infty이면 \\lim_{x \\to a}\\frac{f(x)}{g(x)}=A이다.
\\lim_{x \\to a}f(x)=\\lim_{x \\to a}g(x)=0이거나 \\lim_{x \\to a}g(x)=+\\infty이면 \\lim_{x \\to a}\\frac{f(x)}{g(x)}=A이다.
2. 증명 ✎ ⊖
우선 -\\infty<A \\leq +\\infty인 경우를 보자. 그러면 A<r<q인 q,r \\in \\Bbb{R}을 잡을 수 있다.
\\lim_{x \\to a}\\frac{f'(x)}{g'(x)}=A이므로 a<x<c이면 \\frac{f'(x)}{g'(x)}<r인 c가 존재한다.
이제 a<x<y<c인 x,y를 잡으면 코시의 평균값 정리에 의해 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\\frac{f'(t)}{g'(t)}인 t \\in (x,y)가 존재한다. 따라서 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r이다.
\\lim_{x \\to a}f(x)=\\lim_{x \\to a}g(x)=0인 경우, \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}에서 x \\to a이면 \\frac{f(y)}{g(y)} \\leq r<q를 얻는다. 즉 x \\in (a,c)이면 \\frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
\\lim_{x \\to a}g(x)=+\\infty인 경우, 고정된 y에 대하여 a<x<c_1이면 g(x)>g(y),\\ g(x)>0이 성립하는 c_1 \\in (a,y)를 잡을 수 있다.
\\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r에서 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)}<r\\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}이고 \\frac{f(x)}{g(x)}<r-r\\frac{g(y)}{g(x)}-\\frac{f(y)}{g(x)}이므로 a에 충분히 가까운 x에 대해 \\frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
-\\infty \\leq A < +\\infty인 경우 마찬가지로 A>p인 p를 잡으면 a에 충분히 가까운 x에 대해 \\frac{f(x)}{g(x)}>p가 성립한다.
위 두 결과를 종합하면 정리가 유도된다.
\\lim_{x \\to a}\\frac{f'(x)}{g'(x)}=A이므로 a<x<c이면 \\frac{f'(x)}{g'(x)}<r인 c가 존재한다.
이제 a<x<y<c인 x,y를 잡으면 코시의 평균값 정리에 의해 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}=\\frac{f'(t)}{g'(t)}인 t \\in (x,y)가 존재한다. 따라서 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r이다.
\\lim_{x \\to a}f(x)=\\lim_{x \\to a}g(x)=0인 경우, \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}에서 x \\to a이면 \\frac{f(y)}{g(y)} \\leq r<q를 얻는다. 즉 x \\in (a,c)이면 \\frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
\\lim_{x \\to a}g(x)=+\\infty인 경우, 고정된 y에 대하여 a<x<c_1이면 g(x)>g(y),\\ g(x)>0이 성립하는 c_1 \\in (a,y)를 잡을 수 있다.
\\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}<r에서 \\frac{f(x)-f(y)}{g(x)}<r\\frac{g(x)-g(y)}{g(x)}이고 \\frac{f(x)}{g(x)}<r-r\\frac{g(y)}{g(x)}-\\frac{f(y)}{g(x)}이므로 a에 충분히 가까운 x에 대해 \\frac{f(x)}{g(x)}<q이다.
-\\infty \\leq A < +\\infty인 경우 마찬가지로 A>p인 p를 잡으면 a에 충분히 가까운 x에 대해 \\frac{f(x)}{g(x)}>p가 성립한다.
위 두 결과를 종합하면 정리가 유도된다.
3. 복소함수에서의 적용 ✎ ⊖
사실, 로피탈의 정리는 복소함수에서 성립하지 않는다.
