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Szemerédi's theorem
조합적 정수론의 주요 결과 중 하나고 밀도가 0 이상인 자연수의 부분집합에 대한 등차수열의 정리이다.
1. 진술 ✎ ⊖
먼저 A가 \\Bbb{N}의 부분집합이라고 하자. 그리고
- a(x):=\\sum_{n\\le x,\\;\\;\\;n\\in A}1
- \\liminf_{x\\to \\infty}\\frac{a(x)}{x}>0
2. 역사 ✎ ⊖
이 정리는 처음에 에르되시와 투란이 1936년에 추측한 가정에서 시작된다. 그러다가 로스라는 수학자가 1952년에 이것의 k=3일 때를 증명하게 되고 1969년에 세메레디가 k=4에서 증명하게 된다. 그리고 1975년에 세메레디가 일반적인 증명을 하는 데 성공한다. 그 외에도 2년 후에는 퍼스텐버그에 의해서 에르고딕 이론를 이용한 증명이 만들어졌고 2001년에는 가워라는 수학자에 의해서 푸리에 해석으로 다시 한 번 풀리게 된다.
3. 그 외 ✎ ⊖
이 정리는 여러가지로 많이 수학에 영향을 끼친 정리다. 이것이 풀리고 그 풀이과정을 이용해서 1978년에 세메레디의 규칙성 보조정리가 만들어지고 이는 조합론의 주요 도구가 된다. 그리고 1977년에 에르고딕 이론이 이 정리를 통해 정수론에 쓰이기 시작하고 이것으로 세메레디의 정리와 진술이 비슷한 여러가지 결과들이 만들어지게 된다. 이 두가지 결과는 아주 중요하고 나중에 그린-타오 정리를 증명하는 데 에르고딕 이론를 변형한 것을 쓰게 되고 다른 하나는 조합론에 고급 대수기하가 쓰일 수 있게 해주었다.
